Función racional

En matemáticas, unha función racional é calquera función que se pode definir mediante unha fracción racional, onde tanto o numerador como o denominador son polinomios. Os coeficientes dos polinomios non necesitan ser números racionais; poden tomarse en calquera corpo Modelo:Mvar. Neste caso, fálase dunha función racional e dunha fracción racional sobre Modelo:Mvar. Os valores das variables pódense tomar en calquera corpo Modelo:Mvar que conteña Modelo:Mvar. Logo, o dominio da función é o conxunto dos valores das variables para as que o denominador non é cero, e o codominio é Modelo:Mvar.

O conxunto de funcións racionais sobre un corpo Modelo:Mvar é un corpo, o corpo de fraccións do anel das funcións polinómicas sobre Modelo:Mvar.

Definicións

Unha función $f$ chámase función racional se se pode escribir na forma

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

onde $P$ e $Q$ son funcións polinómicas de $x$ e $Q$ non é a función cero. O dominio de $f$ é o conxunto de todos os valores de $x$ para o que o denominador $Q(x)$ non é cero.

Unha función racional propia é unha función racional na que o grao de $P(x)$ é menor que o grao de $Q(x)$ e ambos os dous son polinomios reais, chamados así por analoxía a unha fracción propia en $\mathbb{Q}.$

Grao

O grao dunha función racional é o máximo dos graos dos seus polinomios constituíntes Modelo:Math e Modelo:Math, cando a fracción se reduce aos termos máis simplificados. Se o grao de Modelo:Math é Modelo:Math, entón a ecuación

$f(z)=w$

ten Modelo:Math solucións distintas en Modelo:Math agás certos valores de Modelo:Math, chamados valores críticos, onde coinciden dúas ou máis solucións ou onde algunha solución vai para o infinito.

No caso de coeficientes complexos, unha función racional de grao un é unha transformación de Möbius.

Nalgúns contextos, como na análise asintótica, o grao dunha función racional é a diferenza entre os graos do numerador e do denominador.Modelo:RpModelo:Rp

Exemplos

A función racional

$f(x)=\frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}$ non está definida en $x^2=5\iff x=\pm \sqrt{5}.$ É asintótica a $\frac{x}{2}$ cando $x\to \mathrm{\infty }.$

A función racional

$f(x)=\frac{x^2+2}{x^2+1}$

está definida para todos os números reais, mais non a está para todos os números complexos, xa que se x fose unha raíz cadrada de $-1$ (é dicir, a unidade imaxinaria ou a súa negativa), daquela a avaliación formal levaría á división por cero:

$f(i)=\frac{i^2+2}{i^2+1}=\frac{-1+2}{-1+1}=\frac{1}{0},$

que está indefinido.

Unha función constante como Modelo:Math é unha función racional xa que as constantes son polinomios. A función en si é racional, aínda que o valor de Modelo:Math sexa irracional para todo Modelo:Mvar.

Toda función polinómica $f(x)=P(x)$ é unha función racional con $Q(x)=1.$ Unha función que non se pode escribir desta forma, como $f(x)=\sin (x),$ non é unha función racional. Non obstante, o adxectivo "irracional" non se usa xeralmente para as funcións.

Serie de Taylor

Os coeficientes dunha serie de Taylor de calquera función racional satisfán unha relación de recorrencia linear, que se pode atopar igualando a función racional a unha serie de Taylor con coeficientes indeterminados e xuntando termos do mesmo grao despois de eliminar o denominador.

Por exemplo,

$\frac{1}{x^2-x+2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k.$

Multiplicando polo denominador e distribuíndo,

$1=(x^2-x+2)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k$

$1=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^{k+2}-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k.$

Despois de axustar os índices das sumas para obter as mesmas potencias de x, obtemos

$1=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}{a}_{k-2}{x}^k-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{k-1}{x}^k+2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k.$

A combinación de termos do mesmo grao dá

$1=2a_0+(2a_1-a_0)x+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(a_{k-2}-a_{k-1}+2a_k)x^k.$

Dado que isto vale para todo x no raio de converxencia da serie de Taylor orixinal, podemos calcular do seguinte xeito. Dado que o termo constante da esquerda debe ser igual ao termo constante da dereita, segue que

$a_0=\frac{1}{2}.$

Entón, como non hai potencias de x á esquerda, todos os coeficientes da dereita deben ser cero, polo que se segue que

$a_1=\frac{1}{4}$

$a_k=\frac{1}{2}(a_{k-1}-a_{k-2})\text{for}k\ge 2.$

No outro sentido, calquera secuencia que satisfaga unha recorrencia linear determina unha función racional cando se usa como coeficientes dunha serie de Taylor. Isto é útil para resolver esas recorrencias, xa que mediante a descomposición en fraccións simples podemos escribir calquera función racional propia como unha suma de factores da forma Modelo:Nowrap e expandir estes como series xeométricas, dando unha fórmula explícita para os coeficientes de Taylor; este é o método usado nas funcións xeradoras.

Álxebra abstracta e noción xeométrica

Na álxebra abstracta o concepto de polinomio esténdese para incluír expresións formais nas que os coeficientes do polinomio poden ser tomados de calquera corpo. Neste escenario, dado un corpo F e algún X indeterminado, unha expresión racional (tamén coñecida como fracción racional ou, en xeometría alxébrica, función racional) é calquera elemento do corpo de fraccións do anel polinómico F[X]. Calquera expresión racional pódese escribir como o cociente de dous polinomios P / Q con Q ≠ 0, aínda que esta representación non é única. P / Q é equivalente a R / S, para polinomios P, Q, R e S, cando PS = QR . Non obstante, dado que F[X] é un dominio de factorización única, hai unha representación única para calquera expresión racional P / Q con polinomios P e Q de grao máis baixo e Q escollido para ser mónico. Isto é semellante ao que acontece nunha fracción de números enteiros, sempre se pode escribir de forma única en termos máis baixos ao cancelar os factores comúns.

O corpo de expresións racionais denótase F(X). Dise que este corpo é xerado (como un corpo) sobre F por (un elemento transcendental) X, porque F(X) non contén ningún subcorpo propio que conteña tanto F como o elemento X.

Funcións racionais complexas

• Conxuntos de Julia para mapas racionais
• 
  $\frac{1}{a{z}^5+z^3+bz}$
• 
  $\frac{1}{z^3+z(-3-3i)}$
• 
  $\frac{z^2-0.2+0.7i}{z^2+0.917}$
• 
  $\frac{z^2}{z^9-z+0.025}$

Na análise complexa, unha función racional

$f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$

é a razón de dous polinomios con coeficientes complexos, onde Modelo:Math non é o polinomio cero e Modelo:Math e Modelo:Math non teñen ningún factor común (isto evita que Modelo:Math tome o valor indeterminado 0/0).

As funcións racionais son exemplos representativos de funcións meromorfas .

Noción dunha función racional nunha variedade alxébrica

En xeometría alxébrica úsase unha versión estendida da idea abstracta da función racional. Alí o corpo de funcións dunha variedade alxébrica V fórmase como o corpo de fraccións do anel de coordenadas de V (con máis precisión, dun conxunto aberto afín de Zariski denso en V). Os seus elementos f considéranse funcións regulares no sentido da xeometría alxébrica en conxuntos abertos non baleiros U, e tamén se poden ver como morfismos á liña proxectiva.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Springer
• Modelo:Cita libroModelo:Ligazón morta

Outros artigos

• Polinomio.
• Lista de funcións matemáticas
• Forma modular

Ligazóns externas

• Dynamic visualization of rational functions with JSXGraph