Grao dun polinomio

O grao dun termo dunha variábel nun polinomio é o expoñente desa variábel nese termo. E o grao dun polinomio e o grao do termo de maior grao.

Por exemplo, en $2x^3+4x^2+x+7$, o termo de maior grao é $2x^3$; dise que este termo e, polo tanto, todo o polinomio, é de grao 3.

Nos polinomios de dúas ou máis variábeis, o grao dun termo é a suma dos expoñentes das variábeis nese termo; o grao do polinomio, de novo, é o grao maior. Por exemplo, o polinomio $x^2{y}^2+3x^3+4y$ ten grao 4, o mesmo grao que o termo $x^2{y}^2$.

Comportamento baixo operacións con polinomios

Comportamento baixo a suma

O grao da suma (ou diferenza) de dous polinomios é menor ou igual ao maior dos dous graos: $$\mathrm{deg}(P+Q)\le \max (\mathrm{deg}(P),\mathrm{deg}(Q)).$$$$\mathrm{deg}(P-Q)\le \max (\mathrm{deg}(P),\mathrm{deg}(Q)).$$

Por exemplo,

• O grao de $(x^3+x)+(x^2+1)=x^3+x^2+x+1$ é 3. Teña en conta que 3 ≤ máximo (3, 2).
• O grao de $(x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x$ é 2. Teña en conta que 2 ≤ máximo (3, 3).

Comportamento baixo a multiplicación

O grao do produto dun polinomio por un escalar distinto de cero é igual ao grao do polinomio; é dicir,

$\mathrm{deg}(cP)=\mathrm{deg}(P)$.

Por exemplo, o grao de $2(x^2+3x-2)=2x^2+6x-4$ é 2, que é igual ao grao de $x^2+3x-2$.

Así, o conxunto de polinomios (con coeficientes dun corpo dado F) cuxos graos son menores ou iguais a un número dado n forma un espazo vectorial.

Máis xeralmente, o grao do produto de dous polinomios sobre un corpo ou un dominio de integridade é a suma dos seus graos:

$\mathrm{deg}(PQ)=\mathrm{deg}(P)+\mathrm{deg}(Q)$.

Por exemplo, o grao de $(x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x$ é 5 = 3 + 2.

Para polinomios sobre un anel arbitrario, as regras anteriores poden non ser válidas, debido á cancelación que pode ocorrer ao multiplicar dúas constantes distintas de cero. Por exemplo, no anel $𝐙/4𝐙$ de números enteiros módulo 4, temos $\mathrm{deg}(2x)=\mathrm{deg}(1+2x)=1$, maos $\mathrm{deg}(2x(1+2x))=\mathrm{deg}(2x)=1$, que non é igual á suma dos graos dos factores.

Comportamento baixo a composición de funcións

O grao da composición de dous polinomios non constantes $P$ e $Q$ nun corpo ou dominio de integridade é o produto dos seus graos: $$\mathrm{deg}(P\circ Q)=\mathrm{deg}(P)\mathrm{deg}(Q).$$

Por exemplo, se $P=x^3+x$ ten o grao 3 e $Q=x^2-1$ ten o grao 2, daquela a súa composición é $P\circ Q=P\circ (x^2-1)=(x^2-1{)}^3+(x^2-1)=x^6-3x^4+4x^2-2,$ que ten o grao 6.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Teorema fundamental da álxebra.

Modelo:Control de autoridades