Disxunción lóxica

Diagrama de Venn $A\vee B\vee C$

En lóxica, a disxunción, tamén coñecida como disxunción lóxica, é unha conectiva lóxica que normalmente denótase como $\vee$ e lese como "ou". Por exemplo, a frase en galego "fai sol ou está quente" pódese representar na lóxica usando a fórmula disxuntiva $S\vee Q$, supoñendo que $S$ abrevia "fai sol" e $Q$ abrevia "está quente". (Comúnmete enténdese máis por unha cousa ou outra, máis en lóxica tamén é válido cando acontecen as dúas xuntas).

Notación

Na lóxica e outros campos relacionados, a disxunción adoita anotarse cun operador infixo $\vee$. As notacións alternativas inclúen +

, usado principalmente en electrónica, así como | e || en moitas linguaxes de programación.

Disxunción clásica

Semántica

A disxunción clásica é unha operación funcional de verdade que devolve o valor de verdade verdadeiro a menos que ambos os seus argumentos sexan falsos. A súa entrada semántica dáse normalmente do seguinte xeito:

$\models \varphi \vee \psi$  se  $\models \varphi$  ou  $\models \psi$  ou  ambos os dous

Esta semántica correspóndese coa seguinte táboa de verdade:

Definida por outros operadores

Nos sistemas lóxicos clásicos onde a disxunción lóxica non é unha primitiva, pódese definir en termos das primitivas AND ($\wedge$) e NOT ( $\mathrm{\neg }$ ) como:

$A\vee B=\mathrm{\neg }((\mathrm{\neg }A)\wedge (\mathrm{\neg }B))$.

Alternativamente, pódese definir en termos da implicación ( $\to$ ) e da negación (lóxica) como:

$A\vee B=(\mathrm{\neg }A)\to B$.

Esta última pódese comprobar coa seguinte táboa de verdade:

Tamén se pode definir unicamente en termos de $\to$:

$A\vee B=(A\to B)\to B$ .

Pódese comprobar coa seguinte táboa de verdade:

Propiedades

As seguintes propiedades aplícanse á disxunción:

• Asociatividade : $a\vee (b\vee c)\equiv (a\vee b)\vee c$
• Conmutatividade : $a\vee b\equiv b\vee a$
• Distributividade : $(a\wedge (b\vee c))\equiv ((a\wedge b)\vee (a\wedge c))$

$(a\vee (b\wedge c))\equiv ((a\vee b)\wedge (a\vee c))$

$(a\vee (b\vee c))\equiv ((a\vee b)\vee (a\vee c))$

$(a\vee (b\equiv c))\equiv ((a\vee b)\equiv (a\vee c))$

• Idempotencia : $a\vee a\equiv a$
• Monotonía : $(a\to b)\to ((c\vee a)\to (c\vee b))$

$(a\to b)\to ((a\vee c)\to (b\vee c))$

Aplicacións en informática

porta lóxica OR

Os operadores correspondentes á disxunción lóxica existen na maioría das linguaxes de programación.

Operación bit a bit

A disxunción úsase a miúdo para operacións bit a bit. Exemplos:

• 0 ou 0 = 0
• 0 ou 1 = 1
• 1 ou 0 = 1
• 1 ou 1 = 1
• 1010 ou 1100 = 1110

Operación lóxica

Moitas linguaxes de programación distinguen entre a disxunción bit a bit e a disxunción lóxica proporcionando dous operadores distintos; nas linguaxes que seguen a C, a disxunción bit a bit realízase co operador de barra única (|) e a disxunción lóxica co operador de barra dupla (||).

Teoría de conxuntos

A pertenza dun elemento dun conxunto unión na teoría de conxuntos defínese en termos dunha disxunción lóxica: $x\in A\cup B\iff (x\in A)\vee (x\in B)$. Por iso, a disxunción lóxica satisfai moitas das mesmas identidades que a unión na teoría de conxuntos, como a asociatividade, a conmutividade, a distributividade e as leis de Morgan, identificando a conxunción lóxica coa intersección de conxuntos, e a negación lóxica co complemento de conxuntos.

Linguaxe natural

A disxunción nas linguas naturais non coincide normalmente coa interpretación de $\vee$ na lóxica clásica. Como se comentou na introdución na fala común a disxunción non inclúe a condición de certa para ambas as condicións. Por exemplo é habitual facer perguntas con "ou" con intención de escoller entre as dúas: queres carne ou peixe?.

Esta interpretación correspóndese coa conectiva XOR (ou exclusivo).

Véxase tamén

Outros artigos

• Álxebra de Boole
• Dominio booleano
• Función booleana

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Eric W. Weisstein. "Disjunction." From MathWorld—A Wolfram Web Resource

Modelo:Control de autoridades