Diagrama de Venn
Os diagramas de Venn son esquemas usados na teoría de conxuntos, teoría usada en matemáticas, lóxica de clases, lóxica matemática e outras disciplinas. Estes diagramas mostran coleccións (conxuntos) de cousas (elementos) por medio circunferencias e un rectángulo global representando o conxunto universal U.
Introdución
Na teoría de conxuntos cos diagramas de Venn é posíbel representar as relacións de intersección, inclusión e disxunción sen mudar a posición relativa dos conxuntos.
Tamén son usados como representación visual das conectivas lóxicas na lóxica matemática.
Intersección
Os elementos do conxunto que pertencen simultaneamente a ambos os conxuntos forman a intersección do conxunto.[1] No diagrama de Venn será a zona delimitada polo cruzamento das dúas circunferencias.
| A = {1; 2; 3; 4; 6; 12} B = {1; 3; 5; 15} U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16} |
|
Intersección = 1, 3.
Inclusión
Se todos os elementos dun conxunto son parte dos elementos doutro, dise que o primeiro é un subconjunto do segundo ou que está incluído no segundo.[1]
| A = {1; 2; 3; 4; 6; 12} B = {1; 2; 3; 6} U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} |
|
Disxunción
Cando os conxuntos non teñen elementos comúns, a rexión de superposición fica baleira.
| A = {2; 4; 6; 8} B = {1; 3; 5; 7; 9} U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} |
|
Orixes e historia
Os diagramas de Venn teñen o nome do seu creador, John Venn, matemático e filósofo británico.[2] Estudante e máis tarde profesor do Caius College da Universidade de Cambridge, Venn desenvolveu toda a súa produción intelectual nese ámbito.[3]
Foi o matemático suízo Leonhard Euler quen primeiro introduciu unha notación clara e sinxela similar aos diagramas de Venn.[4] O seguinte diagrama mostra doutro xeito a relación de inclusión do exemplo dado na introdución.
|
| diagrama de Euler |
Os diagramas de Euler distínguense dos de Venn en dous aspectos:
- Neles non aparecen as rexións baleiras
- O conxunto universal non se representa.
A primeira constancia escrita do uso da expresión «diagrama de Venn» é moi tardía (1918) e atópase no libro A Survey of Symbolic Logic de Clarence Irving Lewis.[5]
Diagramas de Venn de enunciados
Modelo:Ap Podemos ter dous tipos de diagramas de Venn: os que mostran elementos e os que simplemente mostran enunciados ou conceptos. Estes últimos son máis interesantes porque permiten operar de maneira abstracta e chegar a conclusións máis xerais.[6]
Os seguintes diagramas do segundo tipo mostran os resultados de catro operacións básicas con conxuntos usando o código do semáforo de dúas cores.[7]
|
|
|
|
| ¬A | A ∧ B | A ∨ B = ¬((¬A) ∧ (¬B)) | A – B = A ∧ (¬B) |
Que representan as operacións: negación, conxunción, disxunción e diferenza. En verde están o resultado das operacións.
E a continuación unha lista completa para un e dous predicados:
| Nome / Símbolo | Valor de verdade | Venn diagrama | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Modelo:Mvar = | 0 | 1 | |||||
| Verdade/Tautoloxía | ⊤ | 1 | 1 | 
| |||
| proposición Modelo:Mvar | 0 | 1 | 
| ||||
| Falso/Contradición | ⊥ | 0 | 0 | 
| |||
| Negación | ¬ | 1 | 0 | 
| |||
| Conectivos binarios | Modelo:Mvar = | 0 | 1 | 0 | 1 | ||
| Conxunción | ∧ | 0 | 0 | 0 | 1 | 
| |
| Non conxunción | ↑ | 1 | 1 | 1 | 0 | 
| |
| Disxunción | ∨ | 0 | 1 | 1 | 1 | 
| |
| Non disxunción | ↓ | 1 | 0 | 0 | 0 | 
| |
| Condicional material | → | 1 | 1 | 0 | 1 | 
| |
| Ou exclusivo | 0 | 1 | 1 | 0 | 
| ||
| Bicondicional | ↔ | 1 | 0 | 0 | 1 | 
| |
| Implicación inversa | ← | 1 | 0 | 1 | 1 | 
| |
| proposición Modelo:Mvar | 0 | 0 | 1 | 1 | 
| ||
| proposición Modelo:Mvar | 0 | 1 | 0 | 1 | 
| ||
Outras representacións
Diagramas de Euler
Modelo:Artigo principal Os diagramas de Euler preceden historicamente aos diagramas de Venn e nalgunhas aplicacións son aínda usados.
A diferenza entre os diagramas de Euler e de Venn obsérvase sobre todo nas relacións de inclusión e de disxunción.
| inclusión | disxunción | |
| Euler | 
|
|
| Venn | 
|
|
Mapas de Karnaugh
Modelo:Artigo principalOs mapas de Karnaugh ou diagramas de Veitch son unha representación visual de expresións da álxebra de Boole.[8]
Notas
Véxase tamén
Outros artigos
Ligazóns externas
- plantillaarbolgenealogico.net/diagramas/venn/ : Conceptos e exemplos relacionados co diagrama de Venn.
- WinvennModelo:Webarchive: Programa para explorar a notación da teoría de conxuntos sombreando diagramas.
- XFig: Programa de creación de gráficos con licenza GPL.
- Diagrama de Venn: Qué es, para qué se utiliza y cómo hacerlo. Modelo:Es
Modelo:Fundamentos de probabilidade Modelo:Control de autoridades
- ↑ 1,0 1,1 Luetich, "Ser o ser no, ése es el dilema", Actas – Suplemento 1, 1 (1) 1, Rosario, Academia Luventicus, 2001
- ↑ Margaret E. Baron, "A Note on the Historical Development of Logic Diagrams: Leibniz, Euler and Venn", The Mathematical Gazette, Vol. 53 No. 384, Leicester, The Mathematical Association, 1969
- ↑ Anónimo, "Obituary Notices of Fellows Deceased: Rudolph Messel, Frederick Thomas Trouton, John Venn, John Young Buchanan, Oliver Heaviside, Andrew Gray", Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 110 No. 756, Londres, The Royal Society, 1926
- ↑ Edward N. Zalta – Uri Nodelman – Colin Allen (editores), "Diagrams", Stanford Encyclopedia of Philosophy, Stanford, Metaphysics Research Lab – Center for the Study of Language and Information – Stanford University, 2001–2013
- ↑ John Venn, The Principles Of Empirical Or Inductive Logic, Londres, Macmillan, 1907
- ↑ Juan José Luetich, "Ser y pertenecer", Actas – Suplemento 1, 1 (2) 1, Rosario, Academia Luventicus, 2008
- ↑ Javier R. Movellan, "Tutorial on axiomatic ser theory" Modelo:Webarchive, Tutorial on axiomatic ser theory, Kolmogorov Project, 2003
- ↑ Andreas Otte, "Venn-Diagramme: Einleitung", Begriffslogik.de, 1998