Conxunción lóxica

Diagrama de Venn de $A\wedge B\wedge C$

En lóxica, matemáticas e lingüística, e ($\wedge$ ou AND) é o operador da conxunción ou da conxunción lóxica. A conectiva lóxica deste operador adoita representarse como $\wedge$ou $\mathrm{\&}$ ou $\times$ ou $\cdot$ dos que $\wedge$ é o máis moderno e utilizado.

O e (AND) dun conxunto de operandos é verdadeiro se e só se todos os seus operandos son verdadeiros, é dicir, $A\wedge B$ é certo se e só se $A$ é verdade e $B$ é certo.

Máis aló da lóxica, o termo "conxunción" tamén se refire a conceptos similares noutros campos:

• En teoría de conxuntos, intersección.
• Na teoría da orde, conxunción lóxica (ínfimo).

Definición

Na lóxica clásica, a conxunción lóxica é unha operación sobre dous valores lóxicos, normalmente os valores de dúas proposicións, que produce un valor verdadeiro se e só se ambos os seus operandos son verdadeiros.

Táboa de verdade

A táboa de verdade $A\wedge B$: Modelo:2-ary truth table

Definido por outros operadores

En sistemas onde a conxunción lóxica non é unha primitiva, pódese definir como

$A\wedge B=\mathrm{\neg }(A\to \mathrm{\neg }B)$

Pódese comprobar mediante a seguinte táboa de verdade (compare as dúas últimas columnas):

ou

$A\wedge B=\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }A\vee \mathrm{\neg }B).$

Pódese comprobar mediante a seguinte táboa de verdade (compare as dúas últimas columnas):

Regras de introdución e eliminación

Como regra de inferencia, a introdución da conxunción é unha forma argumental simple e clásicamente válida. A forma argumental ten dúas premisas, $A$ e $B$. Intuitivamente, permite inferenciar a súa conxunción.

$A$,

$B$.

Polo tanto, $A$ e $B$.

(teño $A$, teño $B$, polo tanto teño $A$ e $B$)

ou en notación de operador lóxico,

$⊢A,$

$⊢B$

$⊢A\wedge B$

Aquí temos un exemplo dun argumento que se axusta á introdución da forma conxunción:

A Mencía gústanlle as mazás.

A Mencía gústanlle as laranxas.

Polo tanto, a Mencía gústanlle as mazás e as laranxas.

A eliminación da conxuncións é outra forma argumental simple e válida clásicamente. Intuitivamente, permite a inferencia de calquera conxunción de calquera dos elementos desa conxunción.

$A$ e $B$.

Polo tanto, $A$.

(teño $A$ e $B$, polo tanto teño $A$)

... ou alternativamente,

$A$ e $B$.

Polo tanto, $B$.

(teño $A$ e $B$, polo tanto teño $B$)

En notación de operador lóxico:

$⊢A\wedge B$

$⊢A$

... ou alternativamente,

$⊢A\wedge B$

$⊢B$

Negación da conxunción

Definición

Unha conxunción $A\wedge B$ demóstrase falsa ao estabelecer calquera de $\mathrm{\neg }A$ ou $\mathrm{\neg }B$. Por exemplo

$\mathrm{\neg }A\to \mathrm{\neg }(A\wedge B)$

(Non $A$ implica non ($A$ e $B$) ).

Outras estratexias de proba

Se $A$ implica $\mathrm{\neg }B$, entón tanto $\mathrm{\neg }A$ así como $A$ dan como falsa a conxunción:

$(A\to \mathrm{\neg }B)\to \mathrm{\neg }(A\wedge B)$

Noutras palabras, unha conxunción pódese demostrar que é falsa só coñecendo a relación das súas premisas, e non é necesario saber os seus valores de verdade.

Propiedades

conmutividade : si

$A\wedge B$	$\iff$	$B\wedge A$
	$\iff$

asociatividade : si

$A$	$\wedge$	$(B\wedge C)$	$\iff$			$(A\wedge B)$	$\wedge$	$C$
	$\wedge$		$\iff$		$\iff$		$\wedge$

distributividade : con varias operacións, especialmente con OR

$A$	$\wedge$	$(B\vee C)$	$\iff$			$(A\wedge B)$	$\vee$	$(A\wedge C)$
	$\wedge$		$\iff$		$\iff$		$\vee$

idempotencia : si

$A$	$\wedge$	$A$	$\iff$	$A$
	$\wedge$		$\iff$

monótona : si

$A\to B$	$\Rightarrow$			$(A\wedge C)$	$\to$	$(B\wedge C)$
	$\Rightarrow$		$\iff$		$\to$

Se se usan valores binarios para verdadeiro (1) e falso (0), entón a conxunción lóxica funciona exactamente como a multiplicación aritmética normal.

Aplicacións en enxeñaría informática

AND porta lóxica

Na programación informática de alto nivel e na electrónica dixital, a conxunción lóxica esta normalmente representada por un operador infixo, normalmente como unha palabra como "AND", unha multiplicación alxébrica ou o símbolo & (ás veces dobrado como &&).

A conxunción lóxica úsase a miúdo para operacións bit a bit, onde 0 corresponde a falso e 1 a verdadeiro:

• 0 AND 0 = 0,
• 0 AND 1 = 0,
• 1 AND 0 = 0,
• 1 AND 1 = 1.

A operación tamén se pode aplicar a dúas palabras binarias vistas como cadeas de bits de igual lonxitude, tomando o AND bit a bit de cada par de bits nas posicións correspondentes. Por exemplo:

• 11000110 AND 10100011 = 10000010 .

Correspondencia na teoría de conxuntos

A pertenza dun elemento a un conxunto intersección na teoría de conxuntos defínese en termos dunha conxunción lóxica: $x\in A\cap B$ se e só se $(x\in A)\wedge (x\in B)$. A través desta correspondencia, a intersección teórica de conxuntos comparte varias propiedades coa conxunción lóxica, como a asociatividade, a conmutividade e a idempotencia.

Véxase tamén

Outros artigos

• Porta AND.
• Función booleana.
• Leis de De Morgan.

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Wolfram MathWorld: Conjunction
• Modelo:Cite web