Distribución khi cadrado

Modelo:Outros homónimos Modelo:Modelo de distribución de probabilidade A distribución khi cadrado (χ²), chamada tamén distribución de Pearson é unha distribución de probabilidade continua cun parámetro $k$ que representa os graos de liberdade da variable aleatoria:

Onde $Z_i$ son variables aleatorias normais independentes de media cero e varianza un. Se a variable aleatoria $X$ segue esta distribución represéntase habitualmente $X\sim {\chi }_k^2$.

Propiedades

Función de densidade

A súa función de densidade é:

$f(x;k)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2^{k/2}\mathrm{\Gamma }(k/2)}{x}^{(k/2)-1}{e}^{-x/2}& \text{para }x>0,\\ 0& \text{para }x\le 0\end{array}$

onde $\mathrm{\Gamma }$ é a función gamma.

Demostración

A función densidade de $X_1=Z^2$ se Z é tipo N(0,1) vén dada por $P(x,x+dx)=f(x_1)d{x}_1=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-z^2/2}dz$

Despexando e tendo en conta as contribucións positivas e negativas de z $f(x_1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x_1/2}{x}_1^{-\frac{1}{2}}$

A función distribución de $X=X_1+X_2+...+X_n$ vén dada pola súa convolución $f(x;k)=f(x_1)*f(x_2)*...*f(x_k)$

Aplicando a transformada de Laplace $ℒ\{f(x;k)\}=(ℒ\{f(x_1)\}{)}^k=\frac{1}{(2(s+\frac{1}{2}){)}^{\frac{k}{2}}}$

Aplicando a antitransformada obtense f(x;k) $f(x;k)={ℒ}^{-1}\left\{\frac{1}{(2(s+\frac{1}{2}){)}^{\frac{k}{2}}}\right\}=\frac{1}{2^{k/2}\mathrm{\Gamma }(k/2)}{x}^{(k/2)-1}{e}^{-x/2}$

Función de distribución

A súa función de distribución é Modelo:Ecuación onde $\gamma (k,z)$ é a función gamma incompleta.

O valor esperado e a varianza dunha variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k e 2k.

Relación con outras distribucións

A distribución χ² é un caso especial da distribución gamma. De feito, $X\sim \mathrm{\Gamma }(\frac{k}{2},\theta =2).$ Como consecuencia, cando $k=2$, a distribución χ² é unha distribución exponencial de media $k=2$.

Se k é suficientemente grande, como consecuencia do teorema central do límite, pode aproximarse por unha distribución normal:

Aplicacións

A distribución χ² ten moitas aplicacións en inferencia estatística. A máis coñecida é a denominada proba χ², empregada como proba de independencia e como proba da bondade do axuste e na estimación de varianzas. Tamén aparece no problema de estimar a media dunha poboación normalmente distribuída e no problema de estimar a pendente dunha recta de regresión linear, a través do seu papel na distribución t de Student.

Aparece tamén en todos os problemas da análise da varianza pola súa relación coa distribución F de Snedecor, que é a distribución do cociente de dúas variables aleatorias independentes con distribución χ².

Véxase tamén

Outros artigos

• Táboa de continxencia
• Coeficiente de continxencia
• Coeficiente fi
• Jean-Paul Benzécri

Ligazóns externas

• Cálculo da probabilidade dunha distribución khi cadrado con R (linguaxe de programación)