Distribución t de Student

Modelo:Outros homónimos Modelo:Modelo de distribución de probabilidade A distribución t (de Student) é unha distribución de probabilidade que xorde do problema de estimar a media dunha poboación normalmente distribuída cando o tamaño da mostra é pequeno.

Aparece de xeito natural ao realizar a proba t de Student para a determinación das diferenzas entre dúas medias das mostras e para a construción do intervalo de confianza para a diferenza entre as medias de dúas poboacións cando se descoñece o desvío estándar dunha poboación e esta debe ser estimada a partir dos datos dunha mostra.

Caracterización

A distribución t de Student é a distribución de probabilidade do cociente

$T=\frac{Z}{\sqrt{V/\nu }}=Z\sqrt{\frac{\nu }{V}}$

onde

• Z é unha variable aleatoria distribuída segundo unha normal típica (de media nula e varianza 1).
• V é unha variable aleatoria que segue unha distribución χ² con $\nu$ graos de liberdade.
• Z e V son independentes

Se μ é unha constante non nula, o cociente $\frac{Z+\mu }{\sqrt{V/\nu }}$ é unha variable aleatoria que segue a distribución t de Student non central con parámetro de non-centralidade $\mu$.

Aparición e especificacións da distribución t de Student

Supóñase que X₁,..., X_n son variables aleatorias independentes distribuídas normalmente, con media μ e varianza σ²

Sexa

${\bar{X}}_n=(X_1+\cdots +X_n)/n$

a media da mostra. Entón

$Z=\frac{{\bar{X}}_n-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$

segue unha distribución normal de media 0 e varianza 1.

Non obstante, dado que o desvío estándar non sempre se coñece previamente, Gosset estudou un cociente relacionado,

$T=\frac{{\bar{X}}_n-\mu }{S_n/\sqrt{n}},$

$S^2(x)=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$

é a varianza da mostra e demostrou que a función de densidade de T é

$f(t)=\frac{\mathrm{\Gamma }((\nu +1)/2)}{\sqrt{\nu \pi }\mathrm{\Gamma }(\nu /2)}(1+t^2/\nu {)}^{-(\nu +1)/2}$

onde $\nu$ é igual a n − 1.

A distribución de T chámase agora a distribución-t de Student.

O parámetro $\nu$ representa o número de graos de liberdade. A distribución depende de $\nu$, pero non de $\mu$ ou $\sigma$, o que é moi importante na práctica.

Intervalos de confianza derivados da distribución t de Student

O procedemento para o cálculo do intervalo de confianza baseado na t de Student consiste en estimar o desvío estándar dos datos S e calcular o erro estándar da media: $\bar{X}=\frac{S}{\sqrt{n}}$, sendo entón o intervalo de confianza para a media: $\bar{X}=\pm t_{\alpha /2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}$ .

Este resultado é o que se emprega no test de Student: posto que a diferenza das medias de mostras de dúas distribucións normais distribúese tamén normalmente, a distribución t pode empregarse para examinar se esa diferenza se pode supor razoablemente igual a cero.

Para efectos prácticos o valor esperado e a varianza son:

$E(t(n))=0$ e $Var(t(n-1))=n/(n-2)$ para $n>3$ $E(t(n))=0$ e $Var(t(n-1))=n/(n-2)$ para $n>3$ $E(t(n))=0$ e $Var(t(n-1))=n/(n-2)$ para $n>3$ $E(t(n))=0$ e $Var(t(n-1))=n/(n-2)$ para $n>3$

Historia

A distribución de Student foi descrita en 1908 por William Sealy Gosset. Gosset traballaba nunha fábrica de cervexa, Guinness, que prohibía aos seus empregados a publicación de artigos científicos debido a unha difusión previa de segredos industriais. Por ese motivo, Gosset publicou os seus resultados baixo o pseudónimo de Student (“estudante”).

Distribución t de Student non estandarizada

A distribución t pode xeralizarse a 3 parámetros, introducindo un parámero locacional $\mu$ e outro de escala $\sigma$. O resultado é unha distribución t de Student non estandarizada cunha densidade que está definida por:

$p(x|\nu ,\mu ,\sigma )=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu +1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu }{2})\sqrt{\pi \nu }\sigma }{(1+\frac{1}{\nu }{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2)}^{-\frac{\nu +1}{2}}$

Equivalentemente, pode escribirse en termos de ${\sigma }^2$ (correspondente á varianza en vez de ao desvío estándar):

$p(x|\nu ,\mu ,{\sigma }^2)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu +1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{\nu }{2})\sqrt{\pi \nu {\sigma }^2}}{(1+\frac{1}{\nu }\frac{(x-\mu {)}^2}{{\sigma }^2})}^{-\frac{\nu +1}{2}}$

Outras propiedades desta versión da distribución t son:

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}(X)& =\mu \text{para }\nu >1,\\ \text{Var}(X)& ={\sigma }^2\frac{\nu }{\nu -2}\text{para }\nu >2,\\ \text{Moda}(X)& =\mu .\end{array}$

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Tabla de distribución de t de Student
• Prueba t de Student na UPTC de Colombia
• Distribución t-Student: Puntos porcentuais para probabilidade superior
• Cálculo da probabilidade dunha distribución t de Student con R (linguaxe de programación)