Teorema central do límite

O teorema do límite central ou teorema central do límite indica que, en condicións moi xerais, se S_n é a suma de n variables aleatorias independentes e de varianza non nula pero finita, entón a función de distribución de S_n «aproxímase ben» a unha distribución normal (tamén chamada distribución gaussiana, curva de Gauss ou campá de Gauss). Así pois, o teorema asegura que isto ocorre cando a suma destas variables aleatorias independentes é o suficientemente grande.

Definición

Sexa $𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$ a función de densidade da distribución normal definida como Modelo:Ecuación cunha media µ e unha varianza σ². O caso no que a súa función de densidade sexa $𝒩(0,1)$, a distribución coñécese como normal estándar.

Defínese S_n como a suma de n variables aleatorias, independentes, identicamente distribuídas, e con media µ e varianza σ² finitas (σ²≠0): Modelo:Ecuación de maneira que, a media de S_n é n•µ e a varianza n•σ², dado que son variables aleatorias independentes. Con tal de facer máis fácil a comprensión do teorema e o seu posterior uso, faise unha estandarización de S_n como Modelo:Ecuación para que a media da nova variable sexa igual a 0 e o desvío estándar sexa igual a 1. Así, as variables Z_n converxerán en distribución á distribución normal estándar N(0,1), cando n tende a infinito. Como consecuencia, se Φ(z) é a función de distribución de N(0,1), para cada número real z: Modelo:Ecuación onde P( ) indica probabilidade e lim refírese ao límite matemático.

Enunciado formal

De maneira formal, normalizada e compacta o enunciado do teorema é:

É moi común atopalo coa variable estandarizada Z_n en función da media da mostra ${\bar{X}}_n$,

$\frac{{\bar{X}}_n-\mu }{\sigma /\sqrt{n}},$

posto que son equivalentes, así como atopalo en versións non normalizadas como pode ser:

É importante sinalar que este teorema non informa nada acerca da distribución de $X_i$, agás a existencia de media e varianza.

Propiedades

• O teorema central do límite garante unha distribución normal cando n é suficientemente grande.
• Existen diferentes versións do teorema, en función das condicións empregadas para asegurar a converxencia. Unha das máis simples establece que é suficiente que as variables que se suman sexan independentes, identicamente distribuídas, con valor esperado e varianza finitas.
• Este teorema, pertencente á teoría da probabilidade, atopa aplicacións en moitos campos relacionados, tales como a inferencia estatística ou a teoría de renovación.

Varianza nula ou infinita

No caso de n variables aleatorias X_i independentes e identicamente distribuídas, cada unha delas con varianza nula ou infinita, a distribución das variables: Modelo:Ecuación non converxen en distribución cara a unha normal. A continuación preséntanse os dous casos por separado.

Varianza infinita

Considérese o caso de variables que seguen unha distribución de Cauchy: Modelo:Ecuación Neste caso pode demostrarse que a distribución asintótica de S_n vén dada por outra distribución de Cauchy, con menor varianza: Modelo:Ecuación Para outras distribucións de varianza infinita non é fácil dar unha expresión pechada para a súa distribución de probabilidade aínda que a súa función característica si ten unha forma sinxela, dada polo teorema de Lévy-Khintchine: Modelo:Ecuación onde $c\ge 0,-1\ge \gamma \ge 1,0<\alpha \ge 2$ y: Modelo:Ecuación As condicións anteriores equivalen a que unha distribución de probabilidade sexa unha distribución estable.

Varianza nula

Este caso corresponde trivialmente a unha función dexenerada tipo delta de Dirac cunha función de distribución que vén dada por: Modelo:Ecuación Neste caso resulta que a variable $S_n$ trivialmente ten a mesma distribución que cada unha das variables independentes.

Véxase tamén

Outros artigos

• Lei dos grandes números
• Distribución normal
• Teorema de De Moivre-Laplace

Ligazóns externas

• Modelo:Cita web
• Modelo:Cita libro