Número transcendente

Modelo:Barra lateral Un número transcendente, tamén número transcendental, é un tipo de número irracional que non é raíz de ningún polinomio non nulo con coeficientes enteiros.

Neste sentido, número transcendente é antónimo de número alxébrico. A definición non provén dunha simple relación alxébrica, senón que se define como unha propiedade fundamental das matemáticas. Os números transcendentes máis coñecidos son π e e.

En xeral, se temos dous corpos $(K,+,\cdot )$ e $(L,+,\cdot )$ de forma que o segundo é extensión do primeiro, diremos que $\alpha \in L$ é transcendente sobre $K$ se non existe ningún polinomio $p\in K[x]$ do que $\alpha$ sexa raíz ($p(\alpha )=0$).

O conxunto de números alxébricos é numerable, mentres que o conxunto de números reais é non numerable; polo tanto, o conxunto de números transcendentes é tamén non numerable. Non obstante, existen moi poucos números transcendentes coñecidos, e demostrar que un número é transcendente pode ser extremadamente difícil. Por exemplo, aínda non se sabe se a constante de Euler-Mascheroni ($\gamma$) o é, sendo

$\gamma$ = $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\cdots +\frac{1}{n}-\ln (n)$, cando $n\to +\mathrm{\infty }$.

De feito, nin sequera se sabe se $\gamma$ é racional ou irracional.

A propiedade de normalidade dun número (a súa secuencia infinita de díxitos distribúese uniformemente) pode contribuír a demostrar se é transcendente ou non.

Números demostrados como transcendentais

Números demostrados como transcendentais:

• [[número pi|Modelo:Mvar]] (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
• Modelo:Math se Modelo:Math é alxébrico e distinto de cero (polo teorema de Lindemann–Weierstrass), en particular o número e.
• Modelo:Math onde Modelo:Math é un enteiro positivo; en particular a constante de Gelfond Modelo:Math (polo teorema de Gelfond-Schneider).
• Combinacións alxébricas de Modelo:Math e Modelo:Math como $\pi +e^{\pi }$ e $\pi e^{\pi }$ (deducido da súa independencia alxébrica).
• Modelo:Math onde Modelo:Math é alxébrica pero non 0 nin 1, e Modelo:Math é alxébrica irracional, en particular a constante de Gelfond–Schneider $2^{\sqrt{2}}$ (polo Teorema de Gelfond-Schneider).
• O logaritmo natural $\ln (a)$ se $a$ é alxébrica e non é igual a 0 ou 1, para calquera rama da función logarítmica (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
• Modelo:Math se Modelo:Math e Modelo:Math son enteiros positivos non as dúas potencias do mesmo número enteiro, e Modelo:Math non é igual a 1 (polo teorema de Gelfond-Schneider).
• Todos os números da forma $\pi +{\beta }_1\ln (a_1)+\cdots +{\beta }_n\ln (a_n)$ son transcendentais, onde ${\beta }_j$ son alxébricos para todos os $1\le j\le n$ e $a_j$ son alxébricos distintos de cero para todos os $1\le j\le n$ (polo teorema de Baker).

• As funcións trigonométricas Modelo:Math e os seus homólogos hiperbólicos, para calquera número alxébrico distinto de cero Modelo:Math, expresado en radiáns (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
• Resultados distintos de cero das funcións trigonométricas inversas Modelo:Math e as súas contrapartes hiperbólicas, para calquera número alxébrico Modelo:Math (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
• ${\pi }^{-1}\arctan (x)$, para Modelo:Math racional tal que $x\notin \{0,\pm 1\}$.
• O punto fixo da función coseno (tamén coñecido como número de Dottie Modelo:Math), solución real única da ecuación Modelo:Math, onde Modelo:Math está en radiáns (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
• Modelo:Math se Modelo:Math é alxébrica e distinta de cero, para calquera rama da función W de Lambert (polo teorema de Lindemann-Weierstrass), en particular a constante omega Modelo:Math.
• Modelo:Math se tanto Modelo:Math como a orde Modelo:Math son alxébricas tal que $a\ne 0$, para calquera rama da función W xeneralizada de Lambert
• Modelo:Math, a super-raíz cadrada de calquera número natural é un número enteiro ou transcendental (polo Gelfond-Teorema de Schneider).
• Valores da función gamma dos números racionais que teñen a forma $\mathrm{\Gamma }(n/2),\mathrm{\Gamma }(n/3),\mathrm{\Gamma }(n/4)$ ou $\mathrm{\Gamma }(n/6)$..
• Combinacións alxébricas de Modelo:Math e Modelo:Math ou de Modelo:Math e Modelo:Math como a constante lemniscata $\varpi$ (deducido a partir das súas respectivas independencias alxébricas).
• Os valores da función beta $\mathrm{B}(a,b)$ se $a,b$ e $a+b$ son números racionais non enteiros.
• A función de Bessel do primeiro tipo Modelo:Math, a súa primeira derivada e o cociente $\frac{J{\text{'}}_{\nu }(x)}{J_{\nu }(x)}$ son transcendentais cando Modelo:Math é racional e Modelo:Math é alxébrica e distinta de cero, e todas as raíces distintas de cero de Modelo:Math e Modelo:Math son transcendentais cando Modelo:Math é racional.
• O número $\frac{\pi }{2}\frac{Y_0(2)}{J_0(2)}-\gamma$, onde Modelo:Math e Modelo:Math son funcións de Bessel e Modelo:Math é o Constante de Euler-Mascheroni.
• Calquera número de Liouville, en particular: a constante de Liouville.
• Números cunha medida de irracionalidade grande, como a constante de Champernowne $C_{10}$ (polo teorema de Roth).
• Números construídos artificialmente para non ser períodicos alxébricos.
• Calquera número non computábel, en particular: a constante de Chaitin.
• Números irracionais construídos que non son simplemente normal en ningunha base.Modelo:Sfn
• Calquera número para o cal os díxitos con respecto a algunha base fixa formen unha palabra de Sturmian.
• A Constante de Prouhet-Thue-Morse.
• A constante de Komornik-Loreti.
• Os valores da serie infinita cunha taxa de converxencia rápida, segundo a definición de Y. Gao e J. Gao, como $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3^n}{2^{3^n}}$.
• Os valores da Fracción continua de Rogers-Ramanujan $R(q)$ onde $q\in ℂ$ é alxébrica e $0<|q|<1$. Os valores da lemniscáta da función theta $\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}$ (nas mesmas condicións para $q$) tamén son transcendentais

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita revista
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita revista
• Modelo:Cita revista
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cite book

Outros artigos

• Aproximación diofantiana.
• Medida da irracionalidade.
• Número e

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld
• Modelo:MathWorld
• Modelo:MathWorld
• Modelo:Cita web
• Modelo:Cita web