Medida da irracionalidade

Aproximacións racionais á raíz cadrada de 2.

En matemáticas, unha medida da irracionalidade dun número real $x$ é unha medida do "preto" que se pode aproximar mediante racionais.

Se unha función $f(t,\lambda )$, definida para $t,\lambda >0$, toma valores reais positivos e é estritamente decrecentes en ambas as variábeis, considere a seguinte desigualdade:

$0<|x-\frac{p}{q}|<f(q,\lambda )$

para un número real dado $x\in ℝ$ e números racionais $\frac{p}{q}$ con $p\in \mathbb{Z},q\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Definimos $R$ como o conxunto de todos os $\lambda \in {ℝ}^{+}$ para o que só existen un número finito de $\frac{p}{q}$ de forma que se satisfaga a desigualdade. Entón $\lambda (x)=\inf R$ chámase unha medida da irracionalidade de $x$ en relación a $f.$ Se non hai tal $\lambda$ e o conxunto $R$ está baleiro, $x$ dise que ten unha medida de irracionalidade infinita $\lambda (x)=\mathrm{\infty }$.

En consecuencia, a desigualdade

$0<|x-\frac{p}{q}|<f(q,\lambda (x)+\epsilon )$

ten como moito só un número de finitamente moitas solucións $\frac{p}{q}$ para tódolos $\epsilon >0$.

Expoñente da irracionalidade

O expoñente de irracionalidade ou medida de irracionalidade de Liouville-Roth vén dado pola función$f(q,\mu )=q^{-\mu }$, unha definición que adapta a definición dos números de Liouville, o expoñente de irracionalidade $\mu (x)$ defínese para números reais $x$ sendo o supremo do conxunto de $\mu$ tal que se satisfán as desigualdades $0<|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^{\mu }}$ por un número infinito de pares de enteiros primos $(p,q)$ con $q>0$.Modelo:Rp

Para calquera valor $n<\mu (x)$, o conxunto infinito de todos os racionais $p/q$ que satisfán a desigualdade anterior producen boas aproximacións de $x$. Pola contra, se $n>\mu (x)$, entón hai como moito finitamente moitos coprimos $(p,q)$ con $q>0$ que satisfán a desigualdade.

Outro xeito de expresalo sería

$\mu (x):=\inf \{\mu (x)\ge 0:\text{só hai finitamente moitos racionais }p/q\text{ tal que }|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^{\mu }}\}.$

$\mu (x):=\sup \{\mu (x)\ge 0:\text{hai infinitamente moitos racionais }p/q\text{ tal que }|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^{\mu }}\}.$

Algúns casos

Por exemplo, sempre que unha aproximación racional $\frac{p}{q}\approx x$ con $p,q\in \mathbb{N}$ dá $n+1$ cifras decimais exactas, entón

$\frac{1}{10^n}\ge |x-\frac{p}{q}|\ge \frac{1}{q^{\mu (x)+\epsilon }}$

para calquera $\epsilon >0$, agás como máximo un número finito de pares "afortunados" $(p,q)$.

Un número $x\in ℝ$ con expoñente de irracionalidade $\mu (x)\le 2$ chámase número diofantiano, mentres que os números con $\mu (x)=\mathrm{\infty }$ chámanse números de Liouville.

Forma construtiva

Se temos que o $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{1}{n}\ln |q_n|\le \sigma$ e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\ln |q_{n}x-p_n|=-\tau$ para algúns números reais positivos $\sigma ,\tau$, entón podemos estabelecer un límite superior para o expoñente de irracionalidade de $x$ con:

$\mu (x)\le 1+\frac{\sigma }{\tau }$.

Corolarios

• Os números racionais teñen un expoñente de irracionalidade 1, mentres que (como consecuencia do teorema da aproximación de Dirichlet) todo número irracional ten un expoñente de irracionalidade polo menos 2.

• Por outra banda, unha aplicación do lema de Borel-Cantelli mostra que case todos os números, incluídos todos os números irracionais alxébricos, teñen un expoñente de irracionalidade exactamente igual a 2. Modelo:Rp

• Temos $\mu (x)=\mu (rx+s)$ para números reais $x$ e números racionais $r\ne 0$ e $s$. Se para algúns $x$ temos $\mu (x)\le \mu$, entón dedúcese que $\mu (x^{1/2})\le 2\mu$.:368 

• Para un número real $x$ dado pola súa expansión de fracción continua simple $x=[a_0;a_1,a_2,...]$ con converxentes $p_i/q_i$ cúmprese:

$\mu (x)=1+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\ln q_{n+1}}{\ln q_n}=2+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\ln a_{n+1}}{\ln q_n}.$

Exemplos

En primeiro lugar imos ver un non exemplo. Se temos un dos primeiros converxentes da fracción continua de pi, por exemplo $\frac{22}{7}$, daquela teríamos

$|\pi -\frac{22}{7}|<\frac{1}{7^{\mu (\pi )}}$, implica $\ln 0.00126=-6.676<-\mu (\pi )\ln (7);\mu (\pi )<\frac{6.676}{1.94}=3.44$.

Mais este converxente podería ser unha fracción "afortunada". En rigor deben procurarse secuencias con denominadores grandes e que a condición se cumpra para "finitamente moitos".

Para o exemplo da constante de Apéry ($\zeta (3)$) imos seguir parte do documento de Van der Porten. Roger Apéry descobre, mediante transformacións moito elaboradas, unhas recorrencias que aceleran o cálculo de zeta de 3, sendo $p(n-1)=34n^3-51n^2+27n-5$:

$n^3{a}_n-p(n-1)a_{n-1}+(n-1{)}^3{a}_{n-2}=0$,

$n^3{b}_n-p(n-1)b_{n-1}+(n-1{)}^3{b}_{n-2}=0$.

E agora:

$a_n{b}_{n-1}-a_n{b}_{n-1}=\frac{6}{n^3}$,

$|\zeta (3)-\frac{a_n}{b_n}|=\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{6}{k^3{b}_n{b}_{n-1}}$.

Isto implica

$\zeta (3)-\frac{a_n}{b_n}=O\left(\frac{1}{b_n^2}\right)$.

Isto xunto da recorrencia vista enrriba para $b_n$ permite calculalo asintóticamente. Dado que os ceros do polinomio $x^2-34x+1=0$ son $(\sqrt{2}\pm 1{)}^4$ pódese concluír que $b_n=O\left({\alpha }^{4n}\right)$ con $\alpha =1+\sqrt{2}$.

Por último

$|\zeta (3)-\frac{a_n}{b_n}|=O({\alpha }^{8n})=O(\frac{1}{q_n^{1+\delta }})$ con $\delta =\frac{4\ln (\alpha )-3}{4\ln (\alpha )+3}=0.080529\dots$ que dá ${\delta }^{-1}=12.417820\dots$ e así

$|\zeta (3)-\frac{p}{q}|>\frac{1}{q^{12.417820+ϵ}}$.

$\mu (\zeta (3))\le 12.417820\dots$

(como podemos ver na táboa de embaixo este límite superior xa foi calculado cunha cantidade inferior).

Límites coñecidos

• Se $\mu (x)=1,x$ é racional.
• Se $\mu (x)=2,x$ é alxébrico de grao > 1.
• Se $\mu (x)\ge 2,x$ é trascendental.

Para a maioría dos números transcendentais, non se coñece o valor exacto do seu expoñente de irracionalidade. A continuación móstrase unha táboa de límites superiores e inferiores coñecidos.

Número $x$	Expoñente da irracionalidade $\mu (x)$		Notas
	Límite inferior	Límite superior
Número racional $p/q$ con $p\in \mathbb{Z},q\in {\mathbb{Z}}^{+}$	1		Todo número racional $p/q$ ten un expoñente de irracionalidade de exactamente 1.
Número alxébrico irracional $\alpha$	2		Polo Teorema de Roth o expoñente de irracionalidade de calquera número alxébrico irracional é exactamente 2. Exemplos inclúen raíces cadradas e o número áureo $\phi$.
$e^{2/k},k\in {\mathbb{Z}}^{+}$	2		Se os elementos $a_n$ da expansión simple da fracción continua dun número irracional $x$ están limitados por encima de $a_n<P(n)$ por un polinomio arbitrario $P$, entón o seu expoñente de irracionalidade é $\mu (x)=2$. Os exemplos inclúen números nos que as fraccións continuas se comportan de forma previsíbel como $e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...]$ e$I_0(2)/I_1(2)=[1;2,3,4,5,6,7,8,9,10,...]$.
$\tan (1/k),k\in {\mathbb{Z}}^{+}$	2
$\tanh (1/k),k\in {\mathbb{Z}}^{+}$	2
$S(b)$ con $b\ge 2$	2		$S(b):=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}^{-2^k}$con $b\in \mathbb{Z}$, ten termos de fracción continua que non superan unha constante fixa.
$T(b)$ con $b\ge 2$	2		$T(b):=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{t}_k{b}^{-k}$ onde $t_k$ é a secuencia de Thue-Morse e$b\in \mathbb{Z}$. Ver Constante de Prouhet-Thue-Morse .
$\ln (2)$	2	3.57455...	Hai outros números da forma $\ln (a/b)$ para os que se coñecen os límites dos seus expoñentes de irracionalidade.
$\ln (3)$	2	5.11620...
$5\ln (3/2)$	2	3.43506...	Hai moitos outros números da forma$\sqrt{2k+1}\ln \left(\frac{\sqrt{2k+1}+1}{\sqrt{2k+1}-1}\right)$ para os que se coñecen límites no seu expoñente de irracionalidade. Este é o caso de $k=12$.
$\pi /\sqrt{3}$	2	4.60105...	Hai moitos outros números da forma $\sqrt{2k-1}\arctan \left(\frac{\sqrt{2k-1}}{k-1}\right)$ para os que se coñecen límites no seu expoñente de irracionalidade. Este é o caso de $k=2$.
$\pi$	2	7.10320...	Probouse que se a Serie Flint Hills $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\csc }^{2}n}{n^3}$ (onde n está en radiáns) converxe daquela o expoñente de irracionalidade de $\pi$ é como moito $5/2$ e que se diverxe o expoñente de irracionalidade é como mínimo $5/2$.
${\pi }^2$	2	5.09541...	${\pi }^2$ e $\zeta (2)$ son linearmente dependentes sobre $\mathbb{Q}$.
$\arctan (1/2)$	2	9.27204...	Hai moitos outros números da forma $\arctan (1/k)$ para os que se coñecen límites no seu expoñente de irracionalidade.
$\arctan (1/3)$	2	5.94202...
Constante de Apéry $\zeta (3)$	2	5.51389...
$\mathrm{\Gamma }(1/4)$	2	10330
Constante de Cahen $C$	3
Constante de Champernowne $C_b$ ien base $b\ge 2$	$b$		Examplos inclúen $C_{10}=0.1234567891011...=[0;8,9,1,149083,1,...]$
Números de Liouville $L$	$\mathrm{\infty }$		Os números de Liouville son precisamente aqueles números que teñen un expoñente de irracionalidade infinito.Modelo:Rp

Relación coa converxencia dalgunhas series

Modelo:Ap A serie Flint Hills está definida polo sumatorio:

$S_1=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\csc }^{2}n}{n^3}$

que ven sendo o mesmo que

$S_1=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3{\sin }^{2}n}$.

Non se sabe se esta serie converxe, xa que $cs{c}^{2}n$ pode ter esporadicamente valores grandes. Os valores de Modelo:Var que fan grande esa función son precisamente os numeradores dos converxentes da fracción continua de $\pi$ Modelo:OEIS.

Alekseyev (2011) demostrou que a cuestión da converxencia da serie Flint Hill está relacionada coa medida da irracionalidade de $\pi$, e en particular, a converxencia implicaría $\mu (\pi )<=2.5$, que é moito máis forte que o mellor límite superior coñecido na actualidade.

Véxase tamén

Outros artigos

• Serie Flint Hills.
• Constante de Apéry
• Teorema de Lindemann-Weierstrass
• Teorema de Roth

Ligazóns externas

• Irrationality Measure (MathWorld).