Tetración

Coloreado do dominio da tetración definida como función holomorfa ${}^{z}e$, co ton representando o argumento e o brillo representando o módulo.

En matemáticas, a tetración (ou hiper-4) é o seguinte hiperoperador despois da potenciación, e é definida como unha potenciación iterada. A palabra provén de tetra (catro) e ción (de iteración). A tetración é usada para a notación dos números moi grandes.

Introdución

Para entender a tetración hai que entender a relación xerárquica que teñen a suma, a multiplicación e a exponenciación: as multiplicacións poden entenderse como sumas repetidas, a potenciación como multiplicacións repetidas e a tetración como potenciacións repetidas. Todas estas operacións repetidas forman unha xerarquía de "hiperoperacións" que consisten en repetir certo número de veces a operación do nivel inferior. Aquí preséntanse exemplos dos primeiros catro operadores, coa tetración como o primeiro hiperoperador.

1. Adición

   $a+n=a+\underset{n}{\underbrace{1+1+...+1}}$

   a unidade 1 añadida a "a" n veces.

2. Multiplicación

   $a\times n=\underset{n}{\underbrace{a+a+\cdots +a}}$

   a sumado n veces.

3. Potenciación

   $a^n=\underset{n}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}$

   a multiplicado n veces.

4. Tetración

   ${}^{n}a=\underset{n}{\underbrace{a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^a}}}}}$

Modelo:Mvar copias de Modelo:Mvar combinadas por exponenciación, de dereita a esquerda.

Teña en conta que os expoñentes aniñados interprétanse convencionalmente de arriba abaixo: Modelo:Tmath significa Modelo:Tmath e non Modelo:Tmath

Na tetración cada operación é definida mediante a iteración da operación previa (a seguinte operación na sucesión é a pentación). A peculiaridade da tetración entre estas operacións é que para as tres primeiras (adición, multiplicación e potenciación) poden ser xeneralizadas para valores complexos de n, mentres que para a tetración, tal xeneralización regular non está actualmente establecida; a tetración non é considerada unha función elemental.

A adición $(a+n)$ é a operación máis básica, a multiplicación $(an)$ é tamén unha operación primaria, aínda que para os números naturais pode ser pensada como a adición encadeada que implica n números a, e a potenciación $(a^n)$ pode ser pensada como unha multiplicación encadeada que implica n números a.

Análogamente, a tetración $({}^{n}a)$ pode ser pensada como unha potencia encadeada con n expoñentes a. O parámetro a chámase base, mentres que o parámetro n, altura (que é enteiro na primeira aproximación, pero pódese xeneralizar a alturas fraccionais, reais e complexas)

Definición

Para calquera número real positivo $a>0$ e un número enteiro non negativo $n\ge 0$, defínese ${}^{n}a$ como:

${}^{n}a:=\{\begin{array}{cc}1& \text{se }n=0\\ a^{\left[{}^{(n-1)}a\right]}& \text{se }n>0\end{array}$

Exemplos de potencias iteradas contra bases iteradas/potenciación

Como se pode ver da definición, ao avaliar a tetración, esta exprésase como unha "torre de expoñentes", a potenciación realízase no nivel máis alto primeiro para que esta sexa irreducible. Dito doutro modo:

${}^{4}2=2^{(2^{(2^2)})}=2^{(2^4)}=2^{16}=65536$

Nótese que a potenciación non é asociativa, así que avaliar a expresión noutra orde proporcionará unha resposta diferente ademais de incorrecta:

${}^{4}2=((2^2{)}^2{)}^2=(4^2{)}^2=16^2=256$

Simplificaríase a 2^(2^(4-1))=2^(2^3)=2^8=256, que é unha dobre exponencial.

Polo tanto, as torres exponenciais deben ser avaliadas de arriba abaixo (ou de dereita a esquerda), xa que a tetración é unha función exponencial iterada.

Propiedades

A tetración ten varias propiedades que son similares á potenciación, así como propiedades que son específicas da operación e que se perden ou gañan coa potenciación. Debido a que a potenciación non é conmutativa, as regras do produto e da potencia non teñen un análogo coa tetración; as afirmacións ${}^a\left({}^{b}x\right)=\left({}^{ab}x\right)$ e ${}^a\left(xy\right)={}^{a}x{}^{a}y$ non son certas para a maioría dos casos.

Pola contra, a tetración segue unha propiedade diferente, onde ${}^{a}x=x^{\left({}^{a-1}x\right)}$. Este feito vese máis claramente usando unha definición recursiva. Desta propiedade séguese que ${\left({}^{b}a\right)}^{\left({}^{c}a\right)}={\left({}^{c+1}a\right)}^{\left({}^{b-1}a\right)}$, o que permite intercambiar b e c en determinadas ecuacións. A demostración desta propiedade é a seguinte:

$\begin{array}{cc}& {\left({}^{b}a\right)}^{\left({}^{c}a\right)}\\ =& {\left(a^{{}^{b-1}a}\right)}^{\left({}^{c}a\right)}\\ =& a^{\left({}^{b-1}a\right)\left({}^{c}a\right)}\\ =& a^{\left({}^{c}a\right)\left({}^{b-1}a\right)}\\ =& {\left({}^{c+1}a\right)}^{\left({}^{b-1}a\right)}\end{array}$

Cando un número x e 10 son coprimos, entón pódense computar as últimas m cifras decimais de ${}^{a}x$ empregando o teorema de Euler, para calquera enteiro m. Isto é certo tamén noutras bases: por exemplo, as últimas m cifras octais de ${}^{a}x$ pódense calcular cando x e 8 son coprimos.

Xeneralizacións

A tetración pódese xeneralizar de dúas maneiras diferentes; na ecuación $n^{}a!$, tanto a base Modelo:Mvar como a súa altura Modelo:Mvar pódense xeneralizar empregando a definición e as propiedades da tetración. Aínda que a base e a altura pódense xeneralizar máis alá dos enteiros non negativos a diferentes dominios, incluíndo ${}^{n}0$, funcións complexas como ${}^{n}i$, e alturas de infinito Modelo:Mvar, as propiedades máis limitadas da tetración reducen a capacidade de xeneralizala.

Base cero ou complexa

Base cero

A potencia $0^0$ non está definida de forma consistente. Polo tanto, as tetracións ${}^{n}0$ tampouco están claramente definidas pola fórmula dada anteriormente. Pola contra, $\underset{x\to 0}{\lim }{}^{n}x$ está ben definida, e existe:

$\underset{x\to 0}{\lim }{}^{n}x=\{\begin{array}{cc}1,& n\text{ par}\\ 0,& n\text{ impar}\end{array}$

Por ende, poderíamos definir consistentemente ${}^{n}0=\underset{x\to 0}{\lim }{}^{n}x$. Isto é análogo a definir $0^0=1$. Baixo esta xeneralización, ${}^{0}0=1$, polo que a regra $0a=1$ da definición orixinal segue vixente.

Bases complejas

Tetración por período

Tetración por escape

Dado que os números complexos pódense elevar a potencias, a tetración pódese aplicar a bases da forma Modelo:Math (onde a e b son reais). Por exemplo, en ⁿz con z = i, a tetrización obtense empregando a rama principal do logaritmo natural; utilizando a fórmula de Euler obtemos a relación:

$i^{a+bi}=e^{\frac{1}{2}\pi i(a+bi)}=e^{-\frac{1}{2}\pi b}(\cos \frac{\pi a}{2}+i\sin \frac{\pi a}{2})$

Isto suxire unha definición recursiva para ${}^{n+1}i=a^{\prime }+b^{\prime }i$ dado calquera ${}^{n}i=a+bi$:

$\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& =e^{-\frac{1}{2}\pi b}\cos \frac{\pi a}{2}\\ b^{\prime }& =e^{-\frac{1}{2}\pi b}\sin \frac{\pi a}{2}\end{array}$

Isto permite encontrar os seguintes valores aproximados:

Valores da tetración de bases complexas

${}^{n}i$	Valor aproximado
${}^{1}i=i$	Modelo:Math
${}^{2}i=i^{\left({}^{1}i\right)}$	Modelo:Math
${}^{3}i=i^{\left({}^{2}i\right)}$	Modelo:Math
${}^{4}i=i^{\left({}^{3}i\right)}$	Modelo:Math
${}^{5}i=i^{\left({}^{4}i\right)}$	Modelo:Math
${}^{6}i=i^{\left({}^{5}i\right)}$	Modelo:Math
${}^{7}i=i^{\left({}^{6}i\right)}$	Modelo:Math
${}^{8}i=i^{\left({}^{7}i\right)}$	Modelo:Math
${}^{9}i=i^{\left({}^{8}i\right)}$	Modelo:Math

Xeneralizacións para diferentes alturas

Alturas infinitas

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{}^{n}x$ da potencial infinitamente iterada converxe para as bases ${\left(e^{-1}\right)}^e\le x\le e^{\left(e^{-1}\right)}$.

A función $left|\frac{\mathrm{W}(-\ln z)}{-\ln z}\ln z|$ no plano complexo, mostrando a función exponencial infinitamente iterada de valor real (curva negra)

A tetración pódese estender ás alturas infinitas; é dicir, para certos valores de a e n en ${}^{n}a$, existe un resultado ben definido para un n infinito. Isto débese a que para bases dentro dun certo intervalo, a tetrización converxe a un valor finito a medida que a altura tende ao infinito. Por exemplo, ${\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\cdot }^{{\cdot }^{}}}}}$ converxe a 2, e por tanto pódese dicir que é igual a 2. A tendencia a 2 pódese ver avaliando unha pequena torre finita:

$\begin{array}{cc}{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{1.414}}}}}& \approx {\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{1.63}}}}\\ & \approx {\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{1.76}}}\\ & \approx {\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{1.84}}\\ & \approx {\sqrt{2}}^{1.89}\\ & \approx 1.93\end{array}$

En xeral, a pontencial infinitamente iterada $x^{x^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}$, definida como o límite de ${}^{n}x$ a medida que n crece a infinito, converxe para $e^{-e}\le x\le e^{1/e}$, aproximadamente o intervalo de 0.066 a 1.44, resultado demostrado por Leonhard Euler. O límite, se existe, é unha solución real positiva da ecuación 1=y = x^y. Así, 1 =x = y^1/y. O límite que define a exponencial infinita de x non existe cando x > e^1/e porque o máximo de y^1/y é e^1/e. O límite tampouco existe cando 0 < x < e^-e. Isto pódese estender aos números complexos z coa definición:

${}^{infty}z=z^{z^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}=\frac{\mathrm{W}(-\ln z)}{-\ln z},$

onde $W$ representa a función W de Lambert.

Como o límite 1=y = ^∞x (se existe na recta real positiva, é dicir para e^-e ≤ x ≤ e^1/e) debe satisfacer 1=x^y = y vemos que 1=x ↦ y = ^∞x é (a rama inferior de) a función inversa de 1=y ↦ x = y^1/y.

Alturas negativas

Podemos utilizar a regra recursiva da tetración,

${}^{k+1}a=a^{\left({}^{k}a\right)},$

para demostrar que ${}^{-1}a$:

$k^{}a={\log }_a\left({}^{k+1}a\right);$

Substituíndo -1 por Modelo:Mvar obtense

${}^{-1}a={\log }_a\left({}^{0}a\right)={\log }_{a}1=0$.

Os valores negativos máis pequenos non poden ser ben definidos desta maneira. Substituíndo -2 por k na mesma ecuación obténse

${}^{-2}a={\log }_a\left({}^{-1}a\right)={\log }_{a}0=-\mathrm{\infty }$

que non está ben definida. Mais, ás veces pódense considerar conxuntos.

Para $n=1$, calquera definición de ${}^{-1}1$ é consistente coa regra porque

${}^{0}1=1=1^n$ para calquera $,n={}^{-1}1$.

Alturas reais

Neste momento non existe unha solución comunmente aceptada para o problema xeral de estender a tetración aos valores reais ou complexos de n. Aínda así, existen múltiples enfoques cara esa cuestión, e a continuación esbózanse diferentes enfoques.

En xeral, o problema é encontrar, para calquera real a > 0, unha función superexponencial $,f(x)={}^{x}a$ sobre reais x > -2 que satisfaga

• ${}^{-1}a=0$
• ${}^{0}a=1$
• ${}^{x}a=a^{\left({}^{x-1}a\right)}$para todo número real $x>-1.$

Véxase tamén

Bibliografía

• Daniel Geisler, tetration.org
• Ioannis Galidakis, On extending hyper4 to nonintegers (undated, 2006 or earlier) (A simpler, easier to read review of the next reference)
• Ioannis Galidakis, On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals (undated, 2006 or earlier).
• Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals (An informal discussion about extending tetration to the real numbers.)
• Lode Vandevenne, Tetration of the Square Root of Two, (2004). (Attempt to extend tetration to real numbers.)
• Ioannis Galidakis, Mathematics, (Definitive list of references to tetration research. Lots of information on the Lambert W function, Riemann surfaces, and analytic continuation.)
• Modelo:MathWorld
• Joseph MacDonell, Some Critical Points of the Hyperpower Function Modelo:Webarchive.
• Dave L. Renfro, Web pages for infinitely iterated exponentials (Compilation of entries from questions about tetration on sci.math.)
• R. Knobel. "Exponentials Reiterated." American Mathematical Monthly 88, (1981), p. 235–252.
• Takeji Ueda. Extension of tetration to real and complex heights (2021).
• Hans Maurer. "Über die Funktion $y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}$ für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4, (1901), p. 33–50. (Reference to usage of ${}^{n}a$ from Knobel's paper.)
• Ripà, Marco (2011). La strana coda della serie n^n^...^n, Trento, UNI Service. ISBN 978-88-6178-789-6

Outros artigos

• Hiperoperación
• Pentación

Ligazóns externas

• Andrew Robbins' site on tetration
• Daniel Geisler's site on tetration
• Tetration Forum
• tetration at citizendium
• Gottfried Helms' site on tetration