Serie alternada

En matemáticas, unha serie alternada (ou alterna) é unha serie infinita de termos que alternan entre signos positivos e negativos. En notación capital-sigma isto exprésase

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$ ou

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{a}_n$ con Modelo:Math para todos os Modelo:Mvar.

Como calquera serie, unha serie alterna é unha serie converxente se e só se a secuencia de sumas parciais da serie converxe a un límite. O test de series alternadas garante que unha serie alterna é converxente se os termos Modelo:Math converxen a 0 de forma monótona, esta condición é suficiente mais pode non ser necesaria para a converxencia.

Exemplos

A serie xeométrica [[1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯|Modelo:Sfrac − Modelo:Sfrac + Modelo:Sfrac − Modelo:Sfrac + ⋯]] suma $\frac{1}{3}$.

A serie harmónica alterna ten unha suma finita mais a serie harmónica non.

A serie

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$ converxe a $\frac{\pi }{4}$, mais non é absolutamente converxente.

A serie de Mercator proporciona unha expresión en serie de potencias analíticas do logaritmo natural, dada por

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=\ln (1+x),|x|\le 1,x\ne -1.$

As funcións seno e coseno usadas en trigonometría e introducidas na álxebra elemental como a razón de lados dun triángulo rectángulo tamén se poden definir como series alternas no cálculo.

$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ e

$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}.$

Cando se elimina o factor alternante Modelo:Math destas series obtéñense as funcións hiperbólicas sinh e cosh utilizadas en cálculo e estatística.

Para o índice enteiro ou positivo α a función de Bessel do primeiro tipo pódese definir coa serie alterna

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{m!\mathrm{\Gamma }(m+\alpha +1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha }$ onde Modelo:Math é a función gamma.

Se Modelo:Mvar é un número complexo, a función eta de Dirichlet fórmase como unha serie alternada

$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}=\frac{1}{1^s}-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}-\frac{1}{4^s}+\cdots$

que se usa na teoría analítica de números.

Test de serie alternada

O teorema coñecido como "Test de Leibniz" ou test de series alternadas afirma que unha serie alternada converxerá se os termos Modelo:Math converxen a 0 de forma monótona.

Proba: supoña que a secuencia $a_n$ converxe a cero e é monótona decrecente. Se $m$ é impar e $m<n$, obtemos a estimación $S_n-S_m\le a_m$ mediante o seguinte cálculo:

$\begin{array}{cc}{S}_n-S_m& =\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{a}_k-\sum _{k=0}^m(-1{)}^k{a}_k=\sum _{k=m+1}^n(-1{)}^k{a}_k\\ & =a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_n\\ & =a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_n\le a_{m+1}\le a_m.\end{array}$

Posto que $a_n$ é monótonamente decrecente, os termos $-(a_m-a_{m+1})$ son negativos. Así, temos a desigualdade final: $S_n-S_m\le a_m$. Do mesmo xeito, pódese demostrar que $-a_m\le S_n-S_m$. Posto que $a_m$ converxe a $0$, as sumas parciais $S_m$ forman unha secuencia de Cauchy (é dicir, a serie cumpre o criterio de Cauchy) e polo tanto converxen. O argumento para $m$ par é semellante.

Converxencia absoluta

Unha serie $\sum a_n$ converxe absolutamente se a serie $\sum |a_n|$ converxe.

Teorema: as series absolutamente converxentes son converxentes.

Converxencia condicional

Unha serie é condicionalmente converxente se converxe mais non converxe absolutamente.

Por exemplo, a serie harmónica

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n},$ diverxe, mentres que a versión alterna

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n},$ converxe, que se pode porbar polo test de series alternas.

Reordenacións

Para calquera serie, podemos crear unha nova serie reorganizando a orde de suma. Unha serie é converxente incondicionalmente se calquera reordenación crea unha serie coa mesma converxencia que a serie orixinal. As series absolutamente converxentes son incondicionalmente converxentes. Mais o teorema das series de Riemann afirma que as series condicionalmente converxentes poden ser reordenadas para crear unha converxencia arbitraria. O teorema de Agnew describe os reordenamentos que preservan a converxencia para todas as series converxentes. O principio xeral é que a suma de sumas infinitas só é conmutativa para series absolutamente converxentes.

Por exemplo, unha proba falsa de que 1=0 utiliza o fallo da asociatividade para sumas infinitas.

Outro exemplo: a serie de Mercator : $\ln (2)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots .$

Mais, como a serie non converxe absolutamente, podemos reorganizar os termos para obter unha serie $\frac{1}{2}\ln (2)$:

$\begin{array}{cc}& (1-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}+(\frac{1}{3}-\frac{1}{6})-\frac{1}{8}+(\frac{1}{5}-\frac{1}{10})-\frac{1}{12}+\cdots \\ & =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots \\ & =\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots )=\frac{1}{2}\ln (2).\end{array}$

Aceleración de series

Na práctica, a suma numérica dunha serie alternada pode acelerarse usando calquera das diversas técnicas de aceleración de series. Unha das técnicas máis antigas é a da suma de Euler, e hai moitas técnicas modernas que poden ofrecer unha converxencia aínda máis rápida.

Véxase tamén

Bibliografía

• Earl D. Rainville (1967) Infinite Series, pp 73–6, Macmillan Publishers.

Outros artigos

• serie de Grandi
• Integral de Nörlund–Rice

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld

Modelo:Control de autoridades