Suma de Euler

Nas matemáticas de series converxentes e diverxentes, a suma de Euler é un método de suma. É dicir, é un método para asignar un valor a unha serie, diferente do método convencional de tomar límites de sumas parciais. Dada unha serie Σa_n, se a súa transformada de Euler converxe nunha suma, entón esa suma chámase suma de Euler da serie orixinal. A maiores de utilizarse para definir valores para series diverxentes, a suma de Euler pódese usar para acelerar a converxencia das series.

A suma de Euler pódese xeneralizar nunha familia de métodos indicados como (E, q), onde q ≥ 0. A suma (E, 1) é a suma ordinaria de Euler. Todos estes métodos son estritamente máis débiles que a suma de Borel; para q > 0 son incomparábeis coa suma de Abel.

Definición

Para algún valor y podemos definir a suma de Euler (se converxe para ese valor de y) correspondente a unha suma formal particular como:

${}_{E_y}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_j:=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+y{)}^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})y^{j+1}{a}_j.$

Se todas as sumas formais converxen, a suma de Euler será igual ao lado esquerdo. Porén, usar a suma de Euler pode acelerar a converxencia (isto é especialmente útil para alternar series); ás veces tamén pode dar un significado útil ás sumas diverxentes.

Para xustificar o enfoque, observe que para a suma trocada, a suma de Euler redúcese á serie inicial, porque

$y^{j+1}\sum _{i=j}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})\frac{1}{(1+y{)}^{i+1}}=1.$

Este método en si non se pode mellorar mediante unha aplicación iterativa, xa que

${}_{E_{y_1}}{}_{E_{y_2}}\sum ={}_{E_{\frac{y_1{y}_2}{1+y_1+y_2}}}\sum .$

Exemplos

• Usando y = 1 para a suma formal

$\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^j{P}_k(j)$ conseguimos

$\sum _{i=0}^k\frac{1}{2^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})(-1{)}^j{P}_k(j),$se P_k é un polinomio de grao k. Teña en conta que a suma interna sería cero para Modelo:Math, polo que neste caso a suma de Euler reduce unha serie infinita a unha suma finita.

• A elección particular

$P_k(j):=(j+1{)}^k$ proporciona unha representación explícita dos números de Bernoulli, xa que

$\frac{B_{k+1}}{k+1}=-\zeta (-k)$ (función zeta de Riemann ). De feito, a suma formal neste caso diverxe xa que k é positiva, mais aplicando a suma de Euler á función zeta (ou mellor dito, á función eta de Dirichlet relacionada) produce (cf. Serie globalmente converxente)

$\frac{1}{1-2^{k+1}}\sum _{i=0}^k\frac{1}{2^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})(-1{)}^j(j+1{)}^k$ que é unha forma pechada.

• $\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^j=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+y{)}^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})y^{j+1}{z}^j=\frac{y}{1+y}\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1+yz}{1+y}\right)}^i$

Cunha escolla adecuada de y (é dicir, igual ou próximo a −Modelo:Sfrac ) esta serie converxe a Modelo:Sfrac

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Transformación binomial
• Suma de Borel
• Suma de Cesàro
• Suma de Lambert
• Fórmula de Perron
• Teoremas abelianos e tauberianos
• Fórmula de Abel-Plana
• Fórmula da suma de Abel
• Transformmación de Van Wijngaarden
• Suma de Euler-Boole
• Serie diverxente