Función eta de Dirichlet

Función eta de Dirichlet $\eta (s)$ no plano complexo. A cor nun punto $s$ codifica o valor de $\eta (s)$ Cores fortes denotan valores próximos a cero e o ton codifica o valor do argumento.

Nas matemáticas, na área da teoría analítica de números, a función eta de Dirichlet defínese como

$\eta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s)$

onde ζ é a función zeta de Riemann. Tamén pode ser usada para definir a función zeta. Ten unha expresión en serie de Dirichlet, válida para todo número complexo s con parte real positiva, dado por

$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}.$

Aínda que esta é converxente só para s con parte real positiva, é sumable Abel para todo número complexo, o que permite definir a función eta como unha función completa, e mostra que a función zeta de Riemann é meromórfica cun polo simple en s = 1.

En forma equivalente, pódese definir

$\eta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^s}{\exp (x)+1}\frac{dx}{x}$

na rexión de parte real positiva. Isto dá por resultado a función eta como unha transformada de Mellin.

Hardy deu unha demostración simple da ecuación funcional para a función eta, que é

$\eta (-s)=2{\pi }^{-s-1}s\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(s)\eta (s+1).$

A partir disto, pódese obter tamén en forma directa a ecuación funcional da función eta, como así mesmo atopar outro modo de estender a definición de eta a todo o campo dos números complexos.

Método de Borwein

Peter Borwein utilizou aproximacións baseadas nos polinomios de Chebyshov para desenvolver un método para avaliar en forma eficiente a función eta. Se

$d_k=n\sum _{i=0}^k\frac{(n+i-1)!4^i}{(n-i)!(2i)!}$

entón

$\eta (s)=-\frac{1}{d_n}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^k(d_k-d_n)}{(k+1{)}^s}+{\gamma }_n(s),$

onde o termo erro γ_n atópase acoutado por

${\gamma }_n(s)\le \frac{3}{(3+\sqrt{8}{)}^n}(1+2|t|)\exp (|t|\pi /2)$

onde $t=\mathrm{\Im }(s)$.

Valores particulares

Véxase tamén constante zeta

• η(0) = ¹⁄₂, a suma de Abel da serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.
• η(−1) = ¹⁄₄, a suma de Abel de 1 - 2 + 3 - 4 + . . ..
• Para k enteiro > 1, se B_k é o k-esimo número de Bernoulli entón

  $\eta (1-k)=\frac{2^k-1}{k}{B}_k.$

Tamén:

$\eta (1)=\ln 2$, esta é serie harmónica alternada

$\eta (2)=\frac{{\pi }^2}{12}$

$\eta (4)=\frac{7{\pi }^4}{720}$

$\eta (6)=\frac{31{\pi }^6}{30240}$

$\eta (8)=\frac{127{\pi }^8}{1209600}$

$\eta (10)=\frac{73{\pi }^{10}}{6842880}$

$\eta (12)=\frac{61499{\pi }^{12}}{15\times 3790360487}$

A forma xeral para enteiros positivos pares é:

$\eta (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi {)}^{2n}(2^{2n-1}-1)}{2^{2n}(2n!)}=(-1{)}^{n+1}\frac{B_{2n}{\pi }^{2n}(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}$

Notas

• Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34.
• Xavier Gourdon e Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, Numbers, constants and computation (2003)
• Borwein, P., http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/
• Modelo:Cita libro