Sistema de veciñanzas

En topoloxía e outras áreas relacionadas das matemáticas, o sistema de veciñanzas, ou sistema completo de veciñanzas ou filtro de veciñanzas $𝒩(x)$ por un punto $x$ nun espazo topolóxico é a colección de tódalas veciñanzas de $x.$

Definicións

Veciñanza dun punto ou conxunto

Unha Modelo:Em dun punto (ou subconxunto) $x$ nun espazo topolóxico $X$ é calquera subconxunto aberto $U$ de $X$ que contén $x.$ Unha Modelo:Em é calquera subconxunto $N\subseteq X$ que conteña Modelo:Em veciñanza aberta de $x$; explicitamente, $N$ é unha veciñanza de $x$ en $X$ se e só se existe algún subconxunto aberto $U$ con $x\in U\subseteq N$.Modelo:SfnModelo:Sfn De forma equivalente, unha veciñanza de $x$ é calquera conxunto que conteña $x$ no seu interior topolóxico.

Filtro de veciñanzas

O sistema de veciñanzas para un punto (ou subconxunto non baleiro) $x$ é un filtro chamado Modelo:Em O filtro de veciñanzas para un punto $x\in X$ é o mesmo que o filtro de veciñanzas do conxunto unitario $\{x\}.$

Base de veciñanzas

Unha Modelo:Em ou Modelo:Em para un punto $x$ é un filtro base do filtro de veciñanzas; isto significa que é un subconxunto $$ℬ\subseteq 𝒩(x)$$ tal que para todo $V\in 𝒩(x),$ existe algunha $B\in ℬ$ tal que $B\subseteq V.$Modelo:Sfn É dicir, para calquera veciñanza $V$ podemos atopar unha veciñanza $B$ na base de veciñanzas que está contida en $V$.

De forma equivalente, $ℬ$ é unha base local en $x$ se e só se o filtro de veciñanzas $𝒩$ pode ser recuperado de $ℬ$ no sentido de que se cumpre a seguinte igualdade: $$𝒩(x)=\{V\subseteq X:B\subseteq V\text{ para algún }B\in ℬ\}.$$Unha familia $ℬ\subseteq 𝒩(x)$ é unha base de veciñanzas para $x$ se e só se $ℬ$ é un subconxunto cofinal de $(𝒩(x),\supseteq )$ respecto da orde parcial $\supseteq$ (importante, esta orde parcial é a relación de superconxunto e non a relación de subconxunto).

Subbase de veciñanzas

Unha Modelo:Em en $x$ é unha familia $𝒮$ de subconxuntos de $X,$ onde cada un deles contén $x,$ de xeito que a colección de todos as interseccións de elementos de $𝒮$ forma unha base de veciñanzas en $x.$

Exemplos

Se $ℝ$ ten a súa topoloxía euclidiana habitual entón as veciñanzas de $0$ son todos eses subconxuntos $N\subseteq ℝ$ para o que existe algún número real $r>0$ tal que $(-r,r)\subseteq N.$ Por exemplo, todos os seguintes conxuntos son veciñanzas de $0$ en $ℝ$ : $$(-2,2),[-2,2],[-2,\mathrm{\infty }),[-2,2)\cup \{10\},[-2,2]\cup \mathbb{Q},ℝ$$ pero ningún dos seguintes conxuntos son veciñanzas de $0$: $$\{0\},\mathbb{Q},(0,2),[0,2),[0,2)\cup \mathbb{Q},(-2,2)\setminus \{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots \}$$ onde $\mathbb{Q}$ denota os números racionais.

Se $U$ é un subconxunto aberto dun espazo topolóxico $X$, entón para cada $u\in U,$ $U$ é unha veciñanza de $u$ en $X.$ De xeito máis xeral, se $N\subseteq X$ é calquera conxunto e ${\mathrm{int}}_{X}N$ denota o interior topolóxico de $N$ en $X,$ entón $N$ é unha veciñanza (en $X$) de cada punto $x\in {\mathrm{int}}_{X}N$ e a maiores $N$ Modelo:Em é unha veciñanza de ningún outro punto. Dito doutro xeito, $N$ é unha veciñanza dun punto $x\in X$ se e só se $x\in {\mathrm{int}}_{X}N.$

Bases de veciñanzas

En calquera espazo topolóxico, o sistema de veciñanzas para un punto tamén é unha base de veciñanzas para o punto. O conxunto de todas as veciñanzas abertas nun punto forma unha base de veciñanzas nese punto. Para calquera punto $x$ nun espazo métrico, a secuencia de bólas abertas ao redor de $x$ con raio $1/n$ forma unha base de veciñanzas numerábel $ℬ=\{B_{1/n}:n=1,2,3,\dots \}$ . Isto significa que todo espazo métrico é primeiro numerábel.

Dado un espazo $X$ coa topoloxía non discreta o sistema de veciñanzas para calquera punto $x$ só contén todo o espazo, $𝒩(x)=\{X\}$.

Na topoloxía débil sobre o espazo de medidas sobre un espazo $E,$ unha base de veciñanzas sobre $\nu$ está dada por $$\{\mu \in ℳ(E):|\mu f_i-\nu f_i|<r_i,i=1,\dots ,n\}$$onde as $f_i$ son funcións limitadas continuas de $E$ aos números reais e $r_1,\dots ,r_n$ son números reais positivos.

Espazos seminormados e grupos topolóxicos

Nun espazo seminormado, é dicir, un espazo vectorial coa topoloxía inducida por un seminorma, todos os sistemas de veciñanzas poden construírse mediante a translación do sistema de veciñanzas da orixe, $$𝒩(x)=𝒩(0)+x.$$

Isto débese a que, por suposto, a adición de vectores é separadamente continua na topoloxía inducida. Polo tanto, a topoloxía está determinada polo seu sistema de veciñanzas na orixe. De forma máis xeral, isto segue a ser certo sempre que o espazo sexa un grupo topolóxico ou a topoloxía estea definida por unha pseudométrica.

Propiedades

Supoñamos que $u\in U\subseteq X$ e sexa $𝒩$ unha base de veciñanzas para $u$ en $X.$ Facemos $𝒩$ un conxunto dirixido ordenándoo parcialmente por inclusión de superconxuntos $\supseteq .$ Entón $U$ Modelo:Em é unha veciñanza de $u$ en $X$ se e só se existe unha rede $𝒩$-indexada ${\left(x_N\right)}_{N\in 𝒩}$ en $X\setminus U$ tal que $x_N\in N\setminus U$ para todo $N\in 𝒩$ (o que implica que ${\left(x_N\right)}_{N\in 𝒩}\to u$ en $X$).

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Bourbaki General Topology Part I Chapters 1-4
• Modelo:Dixmier General Topology
• Modelo:Willard General Topology

Outros artigos

• Modelo:Annotated link
• Modelo:Annotated link
• Modelo:Annotated link
• Modelo:Annotated link
• Modelo:Annotated link
• Modelo:Annotated link

Modelo:Control de autoridades