Primeiro axioma de numerabilidade

En Topoloxía, dise que un espazo topolóxico $(X,T)$ verifica o primeiro axioma de numerabilidade se cada punto do espazo ten unha base de veciñanzas numerábel. Se un espazo cumpre este axioma dise que é primeiro numerábel.

Exemplos

• Todo espazo métrico cumpre o primeiro axioma de numerabilidade, pois as bólas abertas $B_n=B(x,1/n)$ forman unha base de veciñanzas para o punto .$x\in X$
• O espazo topológico discreto é un espazo primeiro numerable por ser metrizable.
• A recta de Sorgenfrey é un espazo primeiro numerable.
• O espazo de Sierpinski é primeiro numerable.
• A recta cofinita, non é primeiro numerable.$(ℝ,{\mathrm{T}}_{cof})$

Propiedades

• Todo espazo que cumpra o segundo axioma de numerabilidade cumpre automaticamente o primeiro.
• Os subespazos e os produtos de espazos primeiro numerables son primeiro numerables.

Estes espazos son de importancia porque permiten controlar mellor as veciñanzas. Por exemplo, en calquera espazo que cumpra o primeiro axioma de numerabilidad, tense que compacto implica secuencialmente compacto, así tamén a continuidade queda caracterizada polas sucesións (o cal, en xeral, non é certo).

Véxase tamén

Outros artigos

• Segundo axioma de numerabilidade
• Espazo separable