Matriz de uns

En matemáticas, unha matriz de uns é unha matriz onde cada entrada é igual a un. Por exemplo:

$J_2=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right],J_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right],J_{2,5}=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right],J_{1,2}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right].$

Un vector de uns é unha matriz de uns que teñen forma de fila ou columna; non se debe confundir cos vectores unitarios.

Propiedades

Para unha matriz Modelo:Math de uns J, temos as seguintes propiedades:

• A trazo de J é igual a n, e o determinante é igual a 0 para n ≥ 2, pero é igual a 1 se n = 1.
• O polinomio característico de J é $(x-n)x^{n-1}$ .
• O polinomio mínimo de J é $x^2-nx$ .
• O rango de J é 1 e os valores propios son n con multiplicidade 1 e 0 con multiplicidade Modelo:Math.
• $J^k=n^{k-1}J$ para $k=1,2,\dots .$
• J é o elemento neutro do produto de Hadamard.

Cando J se considera unha matriz sobre os números reais, danse as seguintes propiedades adicionais:

• J é unha matriz semidefinida positiva.
• A matriz $\frac{1}{n}J$ é idempotente.
• A matriz exponencial de J é $\exp (\mu J)=I+\frac{e^{\mu n}-1}{n}J$

Aplicacións

A matriz de uns xorde no campo matemático da combinatoria, que inclúe particularmente a aplicación de métodos alxébricos á teoría de grafos. Por exemplo, se A é a matriz de adxacencia dun grafo non dirixido de n vértices G e J é a matriz de todos uns da mesma dimensión, entón G é un grafo regular se e só se AJ = JA. Como segundo exemplo, a matriz aparece nalgunhas demostracións alxébricas lineares da fórmula de Cayley, que dá o número de árbores de expansión dun grafo completo, utilizando o teorema da árbore matricial.

As raíces cadradas lóxicas dunha matriz de uns, matrices lóxicas cuxo cadrado é unha matriz de unidades, pódense usar para caracterizar os grupoides centrais. Os grupoides centrais son estruturas alxébricas que obedecen á identidade $(a\cdot b)\cdot (b\cdot c)=b$. Os grupoides centrais finitos teñen un número cadrado de elementos, e as matrices lóxicas correspondentes só existen para esas dimensións.

Véxase tamén

Outros artigos

• Matriz identidade.

Ligazóns externas

• Modelo:MathWorld

Modelo:Control de autoridades