Vectores fila e columna

Na álxebra linear, un vector columna con Modelo:Tmath elementos é unha matriz $m\times 1$, consta dunha única columna de Modelo:Tmath entradas, por exemplo,

$𝒙=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right].$

Do mesmo xeito, un vector fila é unha matriz $1\times n$, consta dunha única fila de Modelo:Tmath entradas,

$𝒂=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_n\end{array}\right].$

(Neste artigo a letra grosa úsase tanto para vectores fila como vectores columna.)

A transposta (indicado por Modelo:Math) de calquera vector fila é un vector de columna, e a transposta de calquera vector columna é un vector fila:

${\left[\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\dots x_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right]$.

${\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\dots x_m\end{array}\right].$

O conxunto de todos os vectores fila con Modelo:Mvar entradas nun determinado corpo (como os números reais) forma un espazo vectorial de n dimensións; do mesmo xeito, o conxunto de todos os vectores columna con Modelo:Mvar entradas forman un espazo vectorial de m dimensións.

Notación

Para simplificar a escritura de vectores de columna en liña con outros textos, ás veces escríbense como vectores fila coa operación de transposición aplicada a eles.

$𝒙={\left[\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\dots x_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$

Operacións

A multiplicación de matrices implica a acción de multiplicar cada vector fila dunha matriz por cada vector columna doutra matriz.

O produto escalar de dous vectores Modelo:Math, é igual ao produto matricial da transposta de Modelo:Math con Modelo:Math,

$𝐚\cdot 𝐛={𝐚}^{⊺}𝐛=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& \cdots & a_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]=a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n$.

O produto matricial dun vector columna e un vector fila dá o produto externo dos vectores Modelo:Math, un exemplo do máis xenérico produto tensorial:

$𝐚\otimes 𝐛=𝐚{𝐛}^{⊺}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& a_1{b}_3\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& a_2{b}_3\\ a_3{b}_1& a_3{b}_2& a_3{b}_3\end{array}\right]$,

que é a transposta do produto matricial de Modelo:Math e Modelo:Math:

$𝐛\otimes 𝐚=𝐛{𝐚}^{⊺}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{b}_1{a}_1& b_1{a}_2& b_1{a}_3\\ b_2{a}_1& b_2{a}_2& b_2{a}_3\\ b_3{a}_1& b_3{a}_2& b_3{a}_3\end{array}\right].$

Un xeito de velo é que o produto de matrices de dimensións $1\times n$ por $n\times 1$ é unha matriz de dimensións $1\times 1$ que é un número resultado do produto escalar. Mentres que o produto de matrices de dimensións $n\times 1$ por $1\times n$ é unha matriz de dimensións $n\times n$, neste caso produto externo.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Matriz (matemáticas).

Ligazóns externas

• math is fun: scalar-vector-matrix.