Unidade (teoría dos aneis)

En álxebra, unha unidade ou elemento invertíbelModelo:Efn dun anel é un elemento invertíbel para a multiplicación do anel. É dicir, un elemento Modelo:Mvar dun anel Modelo:Mvar é unha unidade se existe Modelo:Mvar en Modelo:Mvar tal que

$vu=uv=1,$

onde Modelo:Math é a identidade multiplicativa; o elemento Modelo:Mvar é único para esta propiedade e chámase inverso multiplicativo de Modelo:Mvar.Modelo:SfnModelo:Sfn O conxunto de unidades de Modelo:Mvar forma un grupo Modelo:Math baixo a multiplicación, chamado grupo de unidades ou grupo de unidades de Modelo:Mvar.Modelo:Efn Outras notacións para o grupo de unidades son Modelo:Math, Modelo:Math.

Exemplos

A identidade multiplicativa Modelo:Math e a súa inversa aditiva Modelo:Math son sempre unidades. De xeito máis xeral, calquera raíz da unidade nun anel Modelo:Mvar é unha unidade: se Modelo:Math, entón Modelo:Math é un inverso multiplicativo de Modelo:Mvar. Nun anel distinto de cero, o elemento 0 non é unha unidade, polo que Modelo:Math non é pechado baixo a suma. Un anel distinto de cero Modelo:Mvar no que cada elemento distinto de cero é unha unidade (é dicir, Modelo:Math) chámase anel de división (ou corpo non conmutativo). Un anel de división conmutativo chámase corpo. Por exemplo, o grupo de unidade do corpo dos números reais Modelo:Math é Modelo:Math (todos os números agás o cero).

Anel de enteiros

No anel de enteiros Modelo:Math, as únicas unidades son Modelo:Math e Modelo:Math.

No anel Modelo:Math de [[Aritmética modular|enteiros módulo Modelo:Mvar]], as unidades son as clases de congruencia Modelo:Math representadas por enteiros coprimos a Modelo:Mvar. Constitúen o [[Grupo multiplicativo de números enteiros módulo n|grupo multiplicativo de números enteiros módulo Modelo:Mvar]].

Anel de números enteiros dun corpo numérico

No anel Modelo:Math obtido ao estender Modelo:Math co enteiro cadrático Modelo:Math, temos Modelo:Math, polo que Modelo:Math é unha unidade, e tamén o son as súas potencias, polo que Modelo:Math ten infinitas unidades.

De xeito máis xeral, para o anel de enteiros Modelo:Mvar nun corpo numérico Modelo:Mvar, o teorema das unidades de Dirichlet afirma que Modelo:Math é isomorfo ao grupo

${𝐙}^n\times {\mu }_R$

onde ${\mu }_R$ é o grupo (finito, cíclico) de raíces da unidade en Modelo:Mvar, e Modelo:Mvar é o rango do grupo de unidades, con valor

$n=r_1+r_2-1,$

onde $r_1,r_2$ son o número de mergullos reais e o número de pares de mergullos complexos de Modelo:Mvar, respectivamente.

Relacionando esta fórmula co exemplo Modelo:Math: o grupo de unidades dun (o anel de enteiros dun) corpo cadrático real é infinito de rango 2, xa que $r_1=2,r_2=0$.

Polinomios e series formais de potencias

Para un anel conmutativo Modelo:Mvar, as unidades do anel de polinomios Modelo:Math son os polinomios

$p(x)=a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n$

tal que Modelo:Math é unha unidade en Modelo:Mvar e os restantes coeficientes $a_1,\dots ,a_n$ son nilpotentes, é dicir, satisfán $a_i^N=0$ para algún Modelo:Math Modelo:Sfn. En particular, se Modelo:Mvar é un dominio, entón as unidades de Modelo:Math son as unidades de Modelo:Mvar. As unidades do anel da serie formal de potencias $R[[x]]$ son as series formais de potencias

$p(x)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{x}^i$

tal que Modelo:Math é unha unidade en Modelo:Mvar. Modelo:Sfn

Aneis de matrices

O grupo de unidades do anel Modelo:Math de [[Matriz cadrada|matrices Modelo:Math]] sobre un anel Modelo:Mvar é o grupo Modelo:Math de matrices invertíbeis. Para un anel conmutativo Modelo:Mvar, un elemento Modelo:Mvar de Modelo:Math é invertíbel se e só se o determinante de Modelo:Mvar é invertíbel en Modelo:Mvar. Nese caso, Modelo:Math pódese dar explicitamente en termos da matriz adxunta.

En xeral

Para os elementos Modelo:Mvar e Modelo:Mvar nun anel Modelo:Mvar, se $1-xy$ é invertíbel, entón $1-yx$ ten inverso $1+y(1-xy{)}^{-1}x$; Modelo:Sfn esta fórmula pódese intuir, mais non demostrar, mediante o seguinte cálculo nun anel de series formais de potencias non conmutativas: $$(1-yx{)}^{-1}=\sum _{n\ge 0}(yx{)}^n=1+y(\sum _{n\ge 0}(xy{)}^n)x=1+y(1-xy{)}^{-1}x.$$ Consulte a identidade de Hua para ver resultados similares.

Grupo das unidades

Un anel conmutativo é un anel local se Modelo:Math é un ideal máximal.

Como pode verse, se Modelo:Math é un ideal, entón é necesariamente un ideal máximal e Modelo:Math é local xa que un ideal máximal é disxunto de Modelo:Math.

Se Modelo:Mvar é un corpo finito, entón Modelo:Math é un grupo cíclico de orde Modelo:Math.

Todo homomorfismo de aneis Modelo:Math induce un homomorfismo de grupos Modelo:Math, xa que Modelo:Mvar mapea unidades en unidades. De feito, a formación do grupo de unidades define un functor dende a categoría de aneis ata a categoría de grupos.

O esquema do grupo ${\mathrm{GL}}_1$ é isomorfo ao esquema de grupos multiplicativos ${𝔾}_m$ sobre calquera base, polo que para calquera anel conmutativo Modelo:Mvar, os grupos ${\mathrm{GL}}_1(R)$ e ${𝔾}_m(R)$ son canonicamente isomorfos a Modelo:Math. Teña en conta que o functor ${𝔾}_m$ (é dicir, Modelo:Math ) é representábel no sentido: ${𝔾}_m(R)\simeq \mathrm{Hom}(\mathbb{Z}[t,t^{-1}],R)$ para aneis conmutativos Modelo:Mvar. Explicitamente, isto significa que hai unha bixección natural entre o conxunto dos homomorfismos do anel $\mathbb{Z}[t,t^{-1}]\to R$ e o conxunto de elementos unidade de Modelo:Mvar (en contraste, $\mathbb{Z}[t]$ representa o grupo aditivo ${𝔾}_a$, o functor desmontaxe da categoría de aneis conmutativos á categoría dos grupos abelianos).

Elemento asociado

Supoña que Modelo:Mvar é conmutativo. Os elementos Modelo:Mvar e Modelo:Mvar de Modelo:Mvar chámanse asociados se existe unha unidade Modelo:Mvar en Modelo:Mvar tal que Modelo:Math; escrito Modelo:Math. En calquera anel, os pares de elementos inversos aditivos Modelo:Efn Modelo:Math e Modelo:Math son ou están asociados, xa que calquera anel inclúe a unidade Modelo:Math. Por exemplo, 6 e −6 están asociados en Modelo:Math. En xeral, Modelo:Math é unha relación de equivalencia en Modelo:Mvar.

A asociación tamén se pode describir en termos da acción de Modelo:Math en Modelo:Mvar mediante multiplicación: Dous elementos de Modelo:Mvar están asociados se están na mesma Modelo:Math-órbita.

Nun dominio de integridade, o conxunto de asociados dun determinado elemento distinto de cero ten a mesma cardinalidade que Modelo:Math.

A relación de equivalencia Modelo:Math pódese ver como calquera das Relacións de semigrupo de Green especializada no semigrupo multiplicativo dun anel conmutativo Modelo:Mvar.

Notas

Referencias

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Anel (álxebra)
• Localización (álxebra conmutativa)
• Inverso multiplicativo modular