Inverso aditivo

En matemáticas, o inverso aditivo dun elemento Modelo:Mvar, denotado Modelo:Mvar, é o elemento que cando se engade a Modelo:Mvar, dá a identidade aditiva, 0. Nos casos máis coñecidos, este é o número 0, mais tamén pode referirse a un elemento cero máis xeneralizado.

En matemáticas elementais, o inverso aditivo é frecuentemente referido como o número oposto. O concepto está moi relacionado coa resta e é importante para resolver ecuacións alxébricas. Non todos os conxuntos onde se define a suma teñen un inverso aditivo, como os números naturais.

Exemplos comúns

Cando se traballa con números enteiros, números racionais, números reais e números complexos, o inverso aditivo de calquera número pódese atopar multiplicándoo por −1.

Estes números complexos, dous dos oito valores de $\sqrt[8]{1}$, son mutuamente opostos

Casos sinxelos de inversos aditivos

$n$	$-n$
$7$	$-7$
$0.35$	$-0.35$
$\frac{1}{4}$	$-\frac{1}{4}$
$\pi$	$-\pi$
$1+2i$	$-1-2i$

Relación coa resta

O inverso aditivo está intimamente relacionado coa resta, que se pode ver como unha suma usando a inversa:

Modelo:Math.

Pola contra, o inverso aditivo pode considerarse como unha resta de cero:

Modelo:Math.

Esta conexión levou a que o signo menos se utilizase tanto para magnitudes opostas como para resta xa no século XVII. Aínda que esta notación é estándar hoxe en día, naquel momento atopouse con oposición, xa que algúns matemáticos consideraron que podería ser pouco clara e levar a erros.

Definición formal

Dada unha estrutura alxébrica definida baixo a suma $(S,+)$ cunha identidade aditiva $e\in S$, un elemento $x\in S$ ten unha inversa aditiva $y$ se e só se $y\in S$, $x+y=e$, e $y+x=e$.

Normalmente, a adición só se usa para referirse a unha operación conmutativa, mais non é necesariamente asociativa. Cando é asociativa, de modo que $(a+b)+c=a+(b+c)$, os inversos pola esquerda e pola dereita, se os existen, coincidirán, e o inverso aditivo será único. En casos non asociativos, os inversos pola esquerda e pola dereita poden non coincidir, e nestes casos considérase que o inverso non existe.

A definición require pechamento, que o elemento aditivo $y$ estea en $S$. É por iso que malia que a suma está definida sobre os números naturais, non é unha inversa aditiva para os seus membros. Os inversos asociados serían os números negativos, polo que os enteiros si teñen un inverso aditivo.

Outros exemplos

• Nun espazo vectorial, o inverso aditivo Modelo:Math (moitas veces chamada vector oposto de Modelo:Math) ten a mesma magnitude que Modelo:Math e mais a dirección oposta.
• En aritmética modular, o inverso aditivo modular de Modelo:Mvar é o número Modelo:Mvar tal que Modelo:Math e sempre existe. Por exemplo, o inverso de 3 módulo 11 é 8, xa que Modelo:Math.
• Nun anel booleano, que ten elementos $\{0,1\}$ a suma defínese a miúdo como a diferenza simétrica. Entón $0+0=0$, $0+1=1$, $1+0=1$, e $1+1=0$. A nosa identidade aditiva é 0, e ambos os elementos son o seu propio inverso aditivo pois $0+0=0$ e $1+1=0$.

Véxase tamén

Outros artigos

• Inverso multiplicativo.
• Valor absoluto
• Aritmética modular

Modelo:Control de autoridades