Kernel (álxebra linear)

En matemáticas, o kernel ou núcleo dun mapa linear, tamén coñecido como espazo nulo, é a parte do dominio que se asigna ao vector cero do codominio; o kernel é sempre un subespazo linear do dominio. É dicir, dado un mapa linear Modelo:Math entre dous espazos vectoriais Modelo:Mvar e Modelo:Mvar, o kernel de Modelo:Mvar é o espazo vectorial de todos os elementos Modelo:Math de Modelo:Mvar tal que Modelo:Math, onde Modelo:Math denota o vector cero en Modelo:Mvar, ou máis simbólicamente : $$\ker (L)=\{𝐯\in V\mid L(𝐯)=\mathrm{𝟎}\}=L^{-1}(\mathrm{𝟎}).$$

Propiedades

Kernel e imaxe dun mapa linear Modelo:Mvar de Modelo:Mvar a Modelo:Mvar

O kernel de Modelo:Mvar é un subespazo linear do dominio Modelo:Mvar. No mapa linear $L:V\to W,$ dous elementos de Modelo:Mvar teñen a mesma imaxe en Modelo:Mvar se e só se a súa diferenza reside no kernel de Modelo:Mvar, é dicir,

$L\left({𝐯}_1\right)=L\left({𝐯}_2\right)\text{ se e só se }L({𝐯}_1-{𝐯}_2)=\mathrm{𝟎}.$

A partir disto, despréndese que a imaxe de Modelo:Mvar é isomorfa ao cociente de Modelo:Mvar polo kernel:

$\mathrm{im}(L)\cong V/\ker (L).$

No caso de que Modelo:Mvar sexa de dimensión finita, isto implica o teorema do rango:

$\dim (\ker L)+\dim (\mathrm{im}L)=\dim (V).$

onde o termo Modelo:Em indica a dimensión da imaxe de Modelo:Mvar, $\dim (\mathrm{im}L),$ mentres que Modelo:Em indica a dimensión do kernel de Modelo:Mvar, $\dim (\ker L).$

Isto é,

$\mathrm{Rango}(L)=\dim (\mathrm{im}L)\text{ e }\mathrm{Nulidade}(L)=\dim (\ker L),$

por tanto o teorema do rango pode reexpresarse como

$\mathrm{Rango}(L)+\mathrm{Nulidade}(L)=\dim (\mathrm{dominio}L).$

Cando Modelo:Mvar é un espazo prehilbertiano (espazo vectorial con produto escalar), o cociente $V/\ker (L)$ pódese identificar co complemento ortogonal en Modelo:Mvar de $\ker (L)$.

En análise funcional

Se Modelo:Mvar e Modelo:Mvar son espazos vectoriais topolóxicos tal que Modelo:Mvar é de dimensión finita, entón un operador linear Modelo:Math é continuo se e só se o kernel de Modelo:Mvar é un subespazo pechado de Modelo:Mvar.

Representación como multiplicación matricial

Considere un mapa linear representado como unha matriz Modelo:Mvar Modelo:Math con coeficientes nun corpo Modelo:Mvar (normalmente $ℝ$ ou $ℂ$), que está operando en vectores columna Modelo:Math con Modelo:Mvar compoñentes sobre Modelo:Mvar. O núcleo deste mapa linear é o conxunto de solucións da ecuación Modelo:Math, onde Modelo:Math enténdese como o vector cero. A dimensión do núcleo de A chámase nulidade de A. Na notación de xeración de conxuntos, $$\mathrm{N}(A)=\mathrm{Null}(A)=\ker (A)=\{𝐱\in K^n\mid A𝐱=\mathrm{𝟎}\}.$$A ecuación matricial é equivalente a un sistema homoxéneo de ecuacións lineares: $$A𝐱=\mathrm{𝟎}\iff \begin{array}{cccccccccccccc}{a}_{11}{x}_1& & +& & a_{12}{x}_2& & +\cdots +& & a_{1n}{x}_n& & =& & & 0\\ a_{21}{x}_1& & +& & a_{22}{x}_2& & +\cdots +& & a_{2n}{x}_n& & =& & & 0\\ & & & & & & & & & & ⋮& & & \\ a_{m1}{x}_1& & +& & a_{m2}{x}_2& & +\cdots +& & a_{mn}{x}_n& & =& & & 0\text{.}\\ \end{array}$$Así, o núcleo de A é o mesmo que a solución estabelecida para as ecuacións homoxéneas anteriores.

Propiedades do subespazo

O núcleo dunha matriz Modelo:Mvar Modelo:Math sobre un corpo Modelo:Mvar é un subespazo linear de Modelo:Math. É dicir, o núcleo de Modelo:Mvar, o conxunto Modelo:Math, ten as seguintes tres propiedades:

1. Modelo:Math sempre contén o vector cero, dado que Modelo:Math.
2. Se Modelo:Math e Modelo:Math, daquela Modelo:Math. Isto dedúcese da propiedade distributiva da múltiplicación de matrices sobre a suma.
3. Se Modelo:Math e Modelo:Mvar é un scalar, Modelo:Math, daquela Modelo:Math, dado que Modelo:Math.

O espazo de filas dunha matriz

O produto Ax pódese escribir en termos do produto escalar dos vectores do seguinte xeito:

$A𝐱=\left[\begin{array}{c}{𝐚}_1\cdot 𝐱\\ {𝐚}_2\cdot 𝐱\\ ⋮\\ {𝐚}_m\cdot 𝐱\end{array}\right].$

Aquí, Modelo:Math denotan as filas da matriz Modelo:Mvar. Dedúcese que Modelo:Math está no núcleo de Modelo:Mvar, se e só se Modelo:Math é ortogonal (ou perpendicular) a cada un dos vectores fila de Modelo:Mvar (xa que a ortogonalidade defínese como un produto escalar de valor 0).

A dimensión do espazo de filas de Modelo:Mvar chámase rango de A, e a dimensión do núcleo de Modelo:Mvar denomínase nulidade de Modelo:Mvar. Estas cantidades están relacionadas polo teorema do rango $$\mathrm{rango}(A)+\mathrm{nulidade}(A)=n.$$

Espazo nulo esquerdo

O espazo nulo esquerdo ou cokernel dunha matriz Modelo:Mvar consta de todos os vectores columna Modelo:Math tal que Modelo:Math, onde T denota a transposición dunha matriz. O espazo nulo esquerdo de Modelo:Mvar é o mesmo que o núcleo de Modelo:Math. O espazo nulo esquerdo de Modelo:Mvar é o complemento ortogonal do espazo columna de Modelo:Mvar, e é dual ao cokernel da transformación linear asociada. O núcleo, o espazo de filas, o espazo de columnas e o espazo nulo esquerdo de Modelo:Mvar son os catro subespazos fundamentais asociados a unha matriz Modelo:Mvar.

Sistemas non homoxéneos de ecuacións lineares

O núcleo tamén xoga un papel na solución dun sistema non homoxéneo de ecuacións lineares:

$A𝐱=𝐛\text{ou}\begin{array}{cccccccccccccc}{a}_{11}{x}_1& & +& & a_{12}{x}_2& & +\cdots +& & a_{1n}{x}_n& & =& & & b_1\\ a_{21}{x}_1& & +& & a_{22}{x}_2& & +\cdots +& & a_{2n}{x}_n& & =& & & b_2\\ & & & & & & & & & & ⋮& & & \\ a_{m1}{x}_1& & +& & a_{m2}{x}_2& & +\cdots +& & a_{mn}{x}_n& & =& & & b_m\\ \end{array}$

Se Modelo:Math e Modelo:Math son dúas posíbeis solucións da ecuación anterior, entón

$A(𝐮-𝐯)=A𝐮-A𝐯=𝐛-𝐛=\mathrm{𝟎}$

Así, a diferenza de dúas solucións calquera á ecuación Modelo:Math reside no núcleo de Modelo:Mvar.

Do anterior dedúcese que calquera solución da ecuación Modelo:Math pode expresarse como a suma dunha solución fixa Modelo:Math e un elemento arbitrario do núcleo. É dicir, a conxunto de solucións para a ecuación Modelo:Math é

$\{𝐯+𝐱\mid A𝐯=𝐛\wedge 𝐱\in \mathrm{Null}(A)\}.$

Xeométricamente, isto di que o conxunto de solucións para Modelo:Math é a translación do núcleo de Modelo:Mvar polo vector Modelo:Math.

Exemplo sinxelo detallado

O seguinte é un exempliño sinxelo do cálculo do núcleo dunha matriz. O exemplo tamén toca o espazo de filas e a súa relación co núcleo.

Considere a matriz $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ -4& 2& 3\end{array}\right].$

O núcleo desta matriz está formado por todos os vectores Modelo:Math para os que

$\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ -4& 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],$

que se pode expresar como un sistema homoxéneo de ecuacións lineares que inclúen Modelo:Mvar, Modelo:Mvar e Modelo:Mvar:

$\begin{array}{cc}2x+3y+5z& =0,\\ -4x+2y+3z& =0.\end{array}$

As mesmas ecuacións lineares tamén se poden escribir en forma matricial como:

$\left[\begin{array}{cccc}2& 3& 5& 0\\ -4& 2& 3& 0\end{array}\right].$

Mediante a eliminación de Gauss-Jordan, a matriz pódese reducir a:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1/16& 0\\ 0& 1& 13/8& 0\end{array}\right].$

Reescribindo a matriz en forma de ecuación obtemos:

$\begin{array}{cc}x& =-\frac{1}{16}z\\ y& =-\frac{13}{8}z.\end{array}$

Os elementos do núcleo pódense expresar tamén en forma vectorial paramétrica, como segue:

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=c\left[\begin{array}{c}-1/16\\ -13/8\\ 1\end{array}\right](\text{onde }c\in ℝ)$

Dado que Modelo:Mvar é unha variábel libre que vai sobre todos os números reais, isto pódese expresar igualmente como:

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=c\left[\begin{array}{c}-1\\ -26\\ 16\end{array}\right].$

O núcleo de Modelo:Mvar é precisamente o conxunto de solucións para estas ecuacións (neste caso, unha liña que pasa pola orixe en Modelo:Math). Aquí, posto que o vector Modelo:Math constitúe unha base do núcleo de Modelo:Mvar, a nulidade de Modelo:Mvar vale 1.

Os seguintes produtos escalares son cero:

$\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ -26\\ 16\end{array}\right]=0\mathrm{e}\left[\begin{array}{ccc}-4& 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ -26\\ 16\end{array}\right]=0,$

que ilustra como os vectores do núcleo de Modelo:Mvar son ortogonais a cada un dos vectores fila de Modelo:Mvar.

Estes dous vectores fila (linearmente independentes) abranguen o espazo de filas de Modelo:Mvar, un plano ortogonal ao vector Modelo:Math.

Co rango 2 de Modelo:Mvar, a nulidade 1 de Modelo:Mvar e a dimensión 3 de Modelo:Mvar, temos unha ilustración do teorema do rango.

Outros exemplos

• Se Modelo:Math, entón o núcleo de Modelo:Math é o conxunto de solucións nun sistema homoxéneo de ecuacións lineares. Como no exempliño anterior, se Modelo:Math é o operador:

$L(x_1,x_2,x_3)=(2x_1+3x_2+5x_3,-4x_1+2x_2+3x_3)$

daquela o núcleo de Modelo:Math é o conxunto de solucións das ecuacións

$\begin{array}{ccccccc}2x_1& +& 3x_2& +& 5x_3& =& 0\\ -4x_1& +& 2x_2& +& 3x_3& =& 0\end{array}$

• Denotamos como Modelo:Math o espazo vectorial de todas as funcións continuas de valores reais no intervalo [0,1], e definimos Modelo:Math pola regra

$L(f)=f(0.3).$

Entón o núcleo de Modelo:Math consta de todas as funcións Modelo:Math para as que Modelo:Math.

• Sexa Modelo:Math o espazo vectorial de todas as funcións infinitamente derivábeis Modelo:Math, e sexa Modelo:Math o operador de diferenciación:

$D(f)=\frac{df}{dx}.$

Daquela o núcleo de Modelo:Math consta de todas as funcións en Modelo:Math cuxas derivadas son cero, é dicir, o conxunto de todas as funcións constantes.

• Sexa Modelo:Math o produto directo de infinitas copias de Modelo:Math, e sexa Modelo:Math o operador de desprazamento

$s(x_1,x_2,x_3,x_4,\dots )=(x_2,x_3,x_4,\dots ).$

Entón o núcleo de Modelo:Math é o subespazo unidimensional que consta de todos os vectores Modelo:Math .

• Se Modelo:Mvar é un espazo prehilbertiano e Modelo:Mvar é un subespazo, o núcleo da proxección ortogonal Modelo:Math é o complemento ortogonal de Modelo:Mvar en Modelo:Mvar.

Cálculo por eliminación gaussiana

Unha base do núcleo dunha matriz pódese calcular mediante eliminación de Gauss.

Para este fin, dada unha matriz Modelo:Mvar Modelo:Math, construímos primeiro a matriz aumentada por filas $\left[\begin{array}{c}A\\ I\end{array}\right],$ onde Modelo:Math é a matriz de identidade Modelo:Math.

Calculando a súa forma escalonada de columna mediante eliminación gaussiana (ou calquera outro método axeitado), obtemos unha matriz $\left[\begin{array}{c}B\\ C\end{array}\right].$ Unha base do núcleo de Modelo:Mvar consiste nas columnas distintas de cero de Modelo:Mvar de forma que a columna correspondente de Modelo:Mvar é unha columna cero.

De feito, o cálculo pode deterse en canto a matriz superior estea en forma de escada: o resto do cálculo consiste en mudar a base do espazo vectorial xerado polas columnas cuxa parte superior é cero.

Por exemplo, supoña que

$A=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& -3& 0& 2& -8\\ 0& 1& 5& 0& -1& 4\\ 0& 0& 0& 1& 7& -9\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$

Entón

$\left[\begin{array}{c}A\\ I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& -3& 0& 2& -8\\ 0& 1& 5& 0& -1& 4\\ 0& 0& 0& 1& 7& -9\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$

Poñendo a parte superior en escada de columnas mediante operacións de columna sobre toda a matriz dá

$\left[\begin{array}{c}B\\ C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 3& -2& 8\\ 0& 1& 0& -5& 1& -4\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& -7& 9\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$

As tres últimas columnas de Modelo:Mvar son columnas cerp. Polo tanto, os tres últimos vectores de Modelo:Mvar,

$\left[\begin{array}{c}3\\ -5\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ -7\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}8\\ -4\\ 0\\ 9\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

son unha base do núcleo de Modelo:Mvar.

Cálculo numérico

O problema de calcular o kernel nun ordenador depende da natureza dos coeficientes.

Coeficientes exactos

Se os coeficientes da matriz son exactamente números dados, a forma escalonada de columnas da matriz pódese calcular co algoritmo de Bareiss de forma máis eficiente que coa eliminación gaussiana. É aínda máis eficiente empregar a aritmética modular e o teorema do resto chinés, o que reduce o problema a varios problemas similares sobre corpos finitos (isto evita a sobrecarga inducida pola non linearidade da complexidade computacional da multiplicación de enteiros).

Para os coeficientes nun corpo finito, a eliminación de Gauss funciona ben, mais para as grandes matrices que ocorren na criptografía e no cálculo base de Gröbner, coñécense mellores algoritmos, que teñen aproximadamente a mesma complexidade computacional, mais son máis rápidos e compórtanse mellor co hardware moderno.

Cálculo en coma flotante

Para matrices cuxas entradas son números en coma flotante, o problema de calcular o kernel só ten sentido para matrices de tal forma que o número de filas é igual ao seu rango: debido aos erros de redondeo, unha matriz en coma flotante ten case sempre un rango completo, mesmo cando se trata dunha aproximación dunha matriz de rango moito menor. Mesmo para unha matriz de rango completo, é posíbel calcular o seu núcleo só se está ben condicionado, é dicir, ten un número de condición baixo.

Un software de última xeración para este fin é a biblioteca Lapack.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Kernel (álxebra).
• Sistema de ecuacións lineares

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Khan Academy, Introduction to the Null Space of a Matrix