Produto interno

En matemática, chámase produto interno (ou interior) a unha función de dous vectores que satisfai determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na xeometría euclidiana, é un caso especial de produto interno.

Definicións

Sexa V un espazo vectorial sobre un corpo K. En V, podemos definir a función binaria $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to K$ (denominada produto interno), que satisfai os seguintes axiomas:

1. $⟨u,v⟩=\overline{⟨v,u⟩}$
2. $⟨u+v,w⟩=⟨u,w⟩+⟨v,w⟩$
3. $⟨\lambda u,v⟩=\lambda ⟨u,v⟩$
4. Se $v\ne 0$, entón $⟨v,v⟩$> $0$

onde u, v e w son vectores de V, e λ é un elemento de K.

A partir deses axiomas, é posíbel probar as seguintes consecuencias:

• $⟨u,v+w⟩=⟨u,v⟩+⟨u,w⟩$
• $⟨u,\lambda v⟩=\bar{\lambda }⟨u,v⟩$
• Se $v=0$, entón $⟨v,v⟩=0$
• Se $⟨v,v⟩=0$, entón $v=0$

Outra definición que resulta de utilidade é a de semi-produto interno, que se define substituíndo a condición 4 da definición do produto interno pola seguinte:

• Se $v$ é un vector tal que $⟨v,w⟩=0,\mathrm{\forall }w\in 𝐕$, entón $v=0$.

Cando se cumpre tal condicón, dise que o produto é non dexenerado. Ademais, todo produto interno é un semi-produto interno, xa que a condición 4 implica que o produto é non dexenerado.

Exemplos

O produto escalar sobre o espazo vectorial ${ℝ}^3$ satisfai os axiomas do produto interno e é definido por:

$⟨(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)⟩=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$

Se f e g son dúas funcións, é posíbel definir o produto interno:

$⟨f,g⟩=\int f(x)\overline{g(x)}dx$

Aplicacións

A partir do produto interno, é posíbel definir os conceptos de ortogonalidade, norma e distancia entre vectores.

Véxase tamén

• Álxebra
• Produto externo