Orde total

En matemáticas, unha orde total ou orde linear é unha orde parcial na que dous elementos calquera son comparables. É dicir, unha orde total é unha relación binaria $\le$ nalgún conxunto $X$, que satisfaga o seguinte para todos os $a,b$ e $c$ en $X$:

1. $a\le a$ (reflexiva).
2. Se $a\le b$ e $b\le c$ entón $a\le c$ (transitiva).
3. Se $a\le b$ e $b\le a$ entón $a=b$ (antisimétrica).
4. $a\le b$ ou $b\le a$ (fortemente conexa, antes chamada total).

A orde total ás veces tamén se chama simple,Modelo:Sfn connex,Modelo:Sfn ou orde completa.Modelo:Sfn

Un conxunto equipado cunha orde total é un conxunto totalmente ordenado; Modelo:Sfn tamén se usan os termos conxunto ordenado simple, Modelo:Sfn conxunto ordenado lineaemente, Modelo:Sfn Modelo:Sfn e loset . O termo cadea defínese ás veces como un sinónimo de conxunto totalmente ordenado, Modelo:Sfn mais refírese xeralmente a subconxuntos totalmente ordenados dun conxunto parcialmente ordenado.

Modelo:Stack A extensión dunha orde parcial dada a unha orde total chámase extensión linear desa orde parcial.

Orde total estrita e non estrita

Unha orde total estrita nun conxunto $X$ é unha orde parcial estrita $X$ no que calquera dous elementos distintos son comparables. É dicir, unha orde total estrita é unha relación binaria $<$ nalgún conxunto $X$, que satisfaga o seguinte para todos os $a,b$ e $c$ en $X$:

1. Non $a<a$ (irreflexiva).
2. Se $a<b$ entón non $b<a$ (asimétrica).
3. Se $a<b$ e $b<c$ entón $a<c$ (transitiva).
4. Se $a\ne b$, entón $a<b$ ou $b<a$ (conexa).

Por cada orde total (non estrita) $\le$ existe unha relación asociada $<$, chamada orde total estrita asociada a $\le$ que se pode definir de dúas formas equivalentes:

• $a<b$ se $a\le b$ e $a\ne b$ (redución reflexiva).
• $a<b$ se non $b\le a$ (é dicir, $<$ é o complemento da inversa de $\le$ ).

No outro sentido, o pechamento reflexivo dunha orde total estrita $<$ é unha orde total (non estrita).

Exemplos

• Calquera subconxunto dun conxunto Modelo:Math totalmente ordenado está totalmente ordenado para a restrición da orde en Modelo:Math.
• A única orde no conxunto baleiro, Modelo:Math, é unha orde total.
• Calquera conxunto de números cardinais ou números ordinais (de feito son ben-ordes).
• Se Modelo:Math é calquera conxunto e Modelo:Math unha función inxectiva de Modelo:Math a un conxunto totalmente ordenado, entón Modelo:Math induce unha orde total en Modelo:Math establecendo Modelo:Math se e só se Modelo:Math .
• A orde lexicográfica sobre o produto cartesiano dunha familia de conxuntos totalmente ordenados, indexados por un conxunto ben-ordenado, é en si mesma unha orde total.
• O conxunto de números reais ordenados polas relacións habituais "menor ou igual a" (≤) ou "maior ou igual a" (≥) está totalmente ordenado. Polo tanto, cada subconxunto dos números reais está totalmente ordenado, como os números naturais, os enteiros e os números racionais. Pódese demostrar que cada un destes é o "exemplo inicial" único (ata un isomorfismo de orde) dun conxunto totalmente ordenado cunha determinada propiedade (aquí, unha orde total Modelo:Math é inicial para unha propiedade, se, sempre que Modelo:Math ten a propiedade, hai un isomorfismo de orde de Modelo:Math a un subconxunto de Modelo:Math):  
  • Os números naturais forman un conxunto inicial totalmente ordenado non baleiro sen elemento maiorante.
  • Os enteiros forman un conxunto inicial totalmente ordenado non baleiro sen elemento maiorante nin minorante.
  • Os números racionais forman un conxunto inicial totalmente ordenado que é denso nos números reais. Ademais, a redución reflexiva < é unha orde densa sobre os números racionais.
  • Os números reais forman un conxunto inicial totalmente ordenado ilimitado que está conectado na topoloxía de orde (definida a continuación).
• Os corpos ordenados están totalmente ordenados por definición. Inclúen os números racionais e os números reais. Cada corpo ordenado contén un subcampo ordenado isomorfo aos números racionais. Calquera corpo ordenado completo de Dedekind é isomorfo aos números reais.
• As letras do alfabeto ordenadas pola orde estándar do dicionario, por exemplo, Modelo:Math etc., é unha orde total estrita.

Cadeas

O termo cadea ás veces defínese como sinónimo dun conxunto totalmente ordenado, mais xeralmente úsase para referirse a un subconxunto dun conxunto parcialmente ordenado que está totalmente ordenado para a orde inducida. Modelo:Sfn Normalmente, o conxunto parcialmente ordenado é un conxunto de subconxuntos dun conxunto dado que se ordena por inclusión, e o termo úsase para indicar as propiedades do conxunto das cadeas. Este elevado número de niveis aniñados de conxuntos explica a utilidade do termo.

Un exemplo común do uso de cadea para referirse a subconxuntos totalmente ordenados é o lema de Zorn que afirma que, se cada cadea dun conxunto parcialmente ordenado Modelo:Mvar ten un elemento maiorante en Modelo:Mvar, entón Modelo:Mvar contén polo menos un elemento maximal.

Nalgúns contextos, as cadeas que se consideran son de orde isomórfica aos números naturais coa súa orde habitual ou a súa orde oposta. Neste caso, unha cadea pódese identificar cunha secuencia monótona, e chámase cadea ascendente ou descendente, dependendo de se a secuencia é crecente ou decrecente.

Un conxunto parcialmente ordenado ten a condición de cadea descendente se cada cadea descendente finalmente se estabiliza (acolá de certo índice, todos os membros da secuencia son iguais). Por exemplo, unha orde está ben fundada se ten a condición de cadea descendente. Do mesmo xeito, a condición de cadea ascendente significa que cada cadea ascendente eventualmente se estabiliza. Por exemplo, un anel Noetheriano é un anel cuxos ideais satisfán a condición de cadea ascendente.

Noutros contextos, só se consideran cadeas que son conxuntos finitos. Neste caso, fálase dunha cadea finita, moitas veces acurtada como cadea. Neste caso, a lonxitude dunha cadea é o número de desigualdades (ou inclusións de conxunto) entre elementos consecutivos da cadea; é dicir, o número menos un dos elementos da cadea. Así, un conxunto unitario é unha cadea de lonxitude cero e un par ordenado é unha cadea de lonxitude un. A dimensión dun espazo adoita definirse ou caracterizarse como a lonxitude máxima de cadeas de subespazos. Por exemplo, a dimensión dun espazo vectorial é a lonxitude máxima das cadeas de subespazos lineais, e a dimensión de Krull dun anel conmutativo é a lonxitude máxima das cadeas dos ideais primos.

Outros conceptos

Teoría de retículas

Pódese definir un conxunto totalmente ordenado como un tipo particular de retícula, aquela na que temos

$\{a\vee b,a\wedge b\}=\{a,b\}$ para todos os a, b.

Escribimos entón a ≤ b se e só se $a=a\wedge b$ . Polo tanto, un conxunto totalmente ordenado é unha retícula distributiva.

Orde total finita

Unha orde total nun conxunto con k elementos induce unha bixección cos primeiros k números naturais. Polo tanto, é común indexar unha orde total finita ou unha boa orde con tipo de orde $\omega$ cos números naturais de xeito que respecte a ordenación (pode comezar por cero ou por un).

Teoría de categorías

Os conxuntos totalmente ordenados forman unha subcategoría completa da categoría de conxuntos parcialmente ordenados, sendo os morfismos mapas que respectan as ordes, é dicir, mapas f tal que se a ≤ b entón f(a) ≤ f(b).

Un mapa bixectivo entre dous conxuntos totalmente ordenados que respecta as dúas ordes é un isomorfismo nesta categoría.

Topoloxía da orde

Para calquera conxunto Modelo:Mvar totalmente ordenado podemos definir os intervalos abertos

• Modelo:Math,
• Modelo:Math,
• Modelo:Math,
• Modelo:Math.

Podemos usar estes intervalos abertos para definir unha topoloxía en calquera conxunto ordenado, a topoloxía de orde.

Cando se usa máis dunha orde nun conxunto fálase da topoloxía da orde inducida por unha orde particular. Por exemplo, se N son os números naturais, < é menor e > maior do que poderiamos referirnos á topoloxía de orde en N inducida por < e á topoloxía de orde en N inducida por > (neste caso son idénticas mais poden en xeral non selo).

A topoloxía da orde inducida por unha orde total pode mostrarse que é hereditariamente normal.

Completude

Un conxunto totalmente ordenado dise que é completo se cada subconxunto non baleiro que teña un elemento maiorante ten un supremo. Por exemplo, o conxunto de números reais R é completo pero o conxunto de números racionais Q non. Noutras palabras, os distintos conceptos de integridade (que non deben confundirse con "total") non se trasladan ás restricións. Por exemplo, sobre os números reais unha propiedade da relación ≤ é que todo subconxunto non baleiro S de R cun elemento maiorante en R ten un supremo en R. Non obstante, para os números racionais este supremo non é necesariamente racional, polo que a mesma propiedade non se aplica á restrición da relación ≤ cos números racionais.

Un conxunto totalmente ordenado (coa súa topoloxía da orde) que é unha retícula completa é compacto. Exemplos son os intervalos pechados de números reais, por exemplo, o intervalo unidade [0,1], e o sistema de números reais estendido. Tamén hai homeomorfismos que conservan a orde entre estes exemplos.

Sumas de ordes

Para dúas ordes totais disxuntas calquera $(A_1,{\le }_1)$ e $(A_2,{\le }_2)$, hai unha orde natural ${\le }_{+}$ no conxunto$A_1\cup A_2$, que se chama suma das dúas ordes ou ás veces só $A_1+A_2$:

Para $x,y\in A_1\cup A_2$, $x{\le }_{+}y$ cúmprese se e só se cumpre un dos seguintes:

1. $x,y\in A_1$ e $x{\le }_{1}y$
2. $x,y\in A_2$ e $x{\le }_{2}y$
3. $x\in A_1$ e $y\in A_2$

Intuitivamente, isto significa que os elementos do segundo conxunto superpóñense aos elementos do primeiro conxunto.

De xeito máis xeral, se $(I,\le )$ é un conxunto de índices totalmente ordenado, e para cada $i\in I$ a estrutura $(A_i,{\le }_i)$ é unha orde linear, onde os conxuntos $A_i$ son disxuntas por parellas, entón a orde total natural $\bigcup _i{A}_i$ está definida por

Para $x,y\in \bigcup _{i\in I}{A}_i$, $x\le y$ cúmprese se:

1. Ou hai algún $i\in I$ con $x{\le }_{i}y$
2. ou hai algúns $i<j$ en $I$ con $x\in A_i$, $y\in A_j$

Decidibilidade

A teoría de ordes totais de primeira orde é decidible, é dicir, hai un algoritmo para decidir que declaracións de primeira orde se cumpren para toda orde total. Usando a interpretabilidade en S2S, a teoría monádica de segunda orde das ordes totais numerables tamén é decidible.

Orde sobre o produto cartesiano de conxuntos totalmente ordenados

En orde crecente de forza, tres das posibles ordes do produto cartesiano de dous conxuntos totalmente ordenados son:

• Orde lexicográfica: ( a, b ) ≤ ( c, d ) se e só se a < c ou (a = c e b ≤ d). Esta é unha orde total.
• (a, b) ≤ ( c, d ) se e só se a ≤ c e b ≤ d (orde do produto). Esta é unha orde parcial.
• (a, b) ≤ ( c, d ) se e só se (a < c e b < d) ou (a = c e b = d) (o pechamento reflexivo do produto directo das correspondentes ordes totais estritas). Esta é tamén unha orde parcial.

As tres poden definirse de xeito similar para o produto cartesiano de máis de dous conxuntos.

Aplicadas ao espazo vectorial Rⁿ, cada un delas convérteno nun espazo vectorial ordenado.

Unha función real de n variables reais definidas nun subconxunto de Rⁿ define unha orde débil estrita e unha preorde total correspondente nese subconxunto.

Estruturas relacionadas

Unha relación binaria que é antisimétrica, transitiva e reflexiva (mais non necesariamente total) é unha orde parcial.

Un grupo cunha orde total compatíbel é un grupo totalmente ordenado.

Véxaxe tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. Modelo:Isbn
• Modelo:Cita libro
• John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. Modelo:Isbn
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Teoría da orde
• Problema de Suslin
• Relación ben ordenada

Ligazóns externas

• Modelo:Cita libro