Fracción continua

Modelo:Image frameEn matemáticas, unha fracción continua é unha expresión obtida mediante un proceso iterativo de representar un número como a suma da súa parte enteira e o recíproco doutro número, e escribir este outro número como a suma da súa parte enteira e outra recíproca, e así continuadamente. Modelo:Sfn Todos os números enteiros da secuencia, agás o primeiro, deben ser positivos. Os enteiros $a_{i}$ chámanse coeficientes ou termos da fracción continua. Modelo:Sfn

En xeral, asúmese que o numerador de todas as fraccións é 1. Nese caso chámase fracción continua simple ou regular, ou dicimos que está en forma canónica. Se se usan valores ou funcións arbitrarias en lugar dun ou máis dos numeradores a expresión resultante é unha fracción continua xeneralizada.

As fraccións continuas teñen unha serie de propiedades notables relacionadas co algoritmo de Euclides para números racionais ou reais. Todo número racional Modelo:Sfrac ten dúas expresións estreitamente relacionadas como fracción continua finita, cuxos coeficientes Modelo:Mvar poden determinarse aplicando o algoritmo de Euclides a $(p, q)$ . O valor numérico dunha fracción continua infinita é irracional. Esta forma de expresar números reais (racionais e irracionais) chámase expansión en fracción continua.

O termo fracción continua tamén pode referirse a representacións de funcións racionais, xurdidas na súa teoría analítica. Para este uso do termo, pode consultar os conceptos aproximación de Padé e funcións racionais de Chebyshev.

Motivación e notación

Considere, por exemplo,o número racional Modelo:Sfrac, que é aproximadamente 4.4624. Como primeira aproximación, comezamos por 4, que é a parte enteira de Modelo:Nowrap. Agora da parte fraccional calculamos o recíproco Modelo:Sfrac, aproximadamente 2.1628. Usamos a parte enteira, 2, e obtemos unha segunda aproximación Modelo:Nowrap Agora imos repetindo o proceso coas partes fraccionais que van aparecendo, Modelo:Sfrac = 2 + Modelo:Sfrac. Collemos o recíproco da parte fraccional Modelo:Sfrac aproximadamente 6.1429. Usamos 6 para formar unha nova approximación de Modelo:Sfrac = Modelo:Nowrap = 4 + Modelo:Sfrac. E continuamos con Modelo:Nowrap. Aquí chegamos ao final do proceso pois, Modelo:Sfrac, é unha fracción unitaria, así logo conseguimos unha expresión exacta, algo enrevesada mais útil en certos casos, de fraccións continuas, Modelo:Nowrap = Modelo:Sfrac.

E pode representarse de forma abreviada Modelo:Sfrac = [4; 2, 6, 7].

Se o número inicial é racional, entón este proceso é coincidente co algoritmo de Euclides aplicado ao numerador e denominador do número. En particular, debe terminar e producir unha representación finita de fracción continua do número. Se o número inicial é irracional, o proceso continúa indefinidamente. Exemplos de representacións en fracción continua de números irracionais son:

Modelo:Math Modelo:OEIS. Coeficientes repetidos con período 6.
Modelo:Math Modelo:OEIS. Tamén con un patrón que agrega 2 cada tres termos.
Modelo:Math Modelo:OEIS. Non se deu atopado patrón.
$φ$ Modelo:Math Modelo:OEIS. A razón aurea, sería o número irracional máis distanciado dun número racional.
Modelo:Math Modelo:OEIS. A constante de Euler–Mascheroni, que se pensa que é irracional e tampouco non ten un patrón recoñecible.

As fraccións continuas teñen varias propiedades desexables:

A representación en fracción continua para un número real é finita se e só se é un número racional. Pola contra, a representación decimal dun número racional pode ser infinita. Cada número racional ten unha representación de fracción continua simple esencialmente única. Cada racional pode representarse exactamente de dúas maneiras, xa que $[a_{0}; a_{1}, . . . a_{n - 1}, a_{n}]$ = $[a_{0}; a_{1}, . . . a_{n - 1}, a_{n - 1}, 1]$ . Normalmente escóllese a primeira, máis curta, como representación canónica. A representación da fracción continua regular dun número irracional é única. Os números reais cuxa fracción continua se repite son precisamente os irracionais cuadráticos. Por exemplo, a fracción continua que se repite [1;2,2,2,...] é a raíz cadrada de 2. As raíces cadradas de todos os números enteiros (positivos) que non son cadrados perfectos son irracionais cadráticos e, por tanto, fraccións continuas periódicas únicas. As aproximacións sucesivas xeradas ao atopar a representación da fracción continua dun número, é dicir, ao truncar a representación en fracción continua, son en certo sentido (descrito máis adiante) as "mellores posibles" e se chaman converxentes.

Cálculo de expansións en fracción continua

Hai varias maneiras de calcular a fracción continua correspondente a un número real, imos ver con dous exemplos a que usa o algoritmo de Euclides e a que usa os inversos.

Algoritmo de Euclides para $\frac{73}{20}$ , a fracción continua son os cocientes,

73	20	3	13
20	13	1	7
13	7	1	6
7	6	1	1
6	1	6	0

$\frac{73}{20} = [3, 1, 1, 1, 6]$ .

Usando os inversos para $e = 2.7182818284 \dots$

coeficiente $a_{n} = ⌊ x_{n - 1} ⌋$	resta $r_{n} = x_{n - 1} - a_{n}$	inverso $x_{n} = \frac{1}{r_{n}}$
		$x_{- 1} = 2.7182818$
2	0.7182818	1.3922111
1	0.3922111	2.5496467
2	0.5496467	1.8193502
1	0.8193502	1.2204792
1	0.2204792	4.5355734
4	0.5355734	1.8671574
1	...	...

$e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, \dots]$ .

Notacións

Os enteiros $a_{0}$ , $a_{1}$ etc., chámanse coeficientes ou termos da fracción continua. Modelo:Sfn Como a representación

x = a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{a_{3} + \frac{1}{a_{4}}}}}

ocupa moito espazo temos outras representacións, como por exemplo

x = a_{0} + \frac{1}{a_{1} +} \frac{1}{a_{2} +} \frac{1}{a_{3} +} \frac{1}{a_{4}}

Por exemplo,

\frac{p_{n}}{q_{n}} = \frac{a_{n} p_{n - 1} + p_{n - 2}}{a_{n} q_{n - 1} + q_{n - 2}},

Con $p_{- 1} = 1, p_{0} = a_{0} e q_{- 1} = 0, p_{0} = 1$ .

x = a_{0} + \underset{i = 1}{\overset{4}{K}} \frac{1}{a_{i}},

Ou nos casos de numerador sempre 1 temos unha notación moi cómoda como unha lista

x = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}] .

Carl Friedrich Gauss utilizou unha notación que lembra a notación de suma, $x = a_{0} + \underset{i = 1}{\overset{4}{K}} \frac{1}{a_{i}},$

x = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}] .

x = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}] .

2.25 = \frac{9}{4} = [2; 4]

e

\frac{1}{2.25} = \frac{4}{9} = [0; 2, 4]

.

Se

x = [a_{0}; a_{1}, \dots, a_{k - 1}, a_{k}, a_{k + 1} \dots]

x = [a_{0}; a_{1}, \dots, a_{k - 1}, b_{k}, b_{k + 1} \dots]

Recíprocos

Conseguimos o recíproco simplemente agregando un cero pola esquerda

$x = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}]$ e $\frac{1}{x} = [0; a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}]$ .

Por exemplo, os converxentes para [0;1,5,2,2] son

2.25 = \frac{9}{4} = [2; 4]

e

\frac{1}{2.25} = \frac{4}{9} = [0; 2, 4]

.

Fraccións continuas infinitas e converxentes

Unha expansión en fracción continua infinita para un número irracional é útil porque os sucesivos truncamentos iniciais proporcionan aproximacións racionais ao número. Estes números racionais $\frac{p_{i}}{q_{i}}$ chámanse converxentes da fracción continua. Modelo:Sfn Modelo:Sfn Os converxentes pares son máis pequenos que o número orixinal, mentres que os impares son maiores.

\frac{p_{n}}{q_{n}} - \frac{p_{n - 1}}{q_{n - 1}} = \frac{p_{n} q_{n - 1} - q_{n} p_{n - 1}}{q_{n} q_{n - 1}} = \frac{(- 1)^{n + 1}}{q_{n} q_{n - 1}} .

Cada converxente pódese expresar explicitamente en termos da fracción continua como a razón de certos polinomios multivariados chamados continuantes.

Para a fracción continua $x = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}]$ , os converxentes veñen dados pola fórmula recorrente

$p_{i} = a_{i} p_{i - 1} + p_{i - 2} con p_{- 1} = 1, p_{0} = a_{0}$ .

$q_{i} = a_{i} q_{i - 1} + q_{i - 2} con q_{- 1} = 0, p_{0} = 1$ .

Por exemplo, os converxentes para a constante de Euler–Mascheroni, Modelo:OEIS, $γ = [0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, \dots] = 0.577215664901532 \dots$ ,

Converxentes
aModelo:Sub		0	1	1	2	1	2	1	4	3	13	$\dots$
pModelo:Sub	1	0	1	1	3	4	11	15	71	228	3035	$\dots$
qModelo:Sub	0	1	1	2	5	7	19	26	123	395	5258	$\dots$

e comprobamos que o noveno converxente $\frac{3035}{5258} = 0, 57721567 \dots$

Os converxentes mostran a súa verdadeira utilidade na aproximación dos números irracionais. Máis adiante podemos velo nas expansións de $π$ .

Propiedades alxébricas

Un espazo de Baire é un espazo topolóxico sobre secuencias infinitas de números naturais. A fracción continua infinita proporciona un homeomorfismo do espazo de Baire ao espazo dos números reais irracionais (coa topoloxía subespacial herdada da topoloxía habitual dos reais). A fracción continua infinita tamén proporciona un mapa entre os irracionais cadráticos e os racionais diádicos, e doutros irracionais ao conxunto de cadeas infinitas de números binarios (é dicir, o conxunto de Cantor); este mapa chámase función de signo de interrogación de Minkowski. O mapeo ten propiedades fractais autosimilares interesantes; estas veñen dadas polo grupo modular, que é o subgrupo de transformacións de Möbius que teñen valores enteiros na transformada. En liñas xerais, os converxentes da fracción continua pódense considerar transformacións de Möbius que actúan no semiplano superior (hiperbólico); isto é o que leva á autosimetría fractal.

A distribución de probabilidade límite dos coeficientes na expansión continua de fraccións dunha variable aleatoria uniformemente distribuída en (0, 1) é a distribución de Gauss-Kuzmin.

A media aritmética dunha fracción continua dun número irracional é unha constante, Constante de Khinchin.

Algúns teoremas útiles

Teorema 1. Para todo número real positivo
$x$
$[a_{0}; a_{1}, \dots, a_{n - 1}, x] = \frac{x p_{n - 1} + p_{n - 2}}{x q_{n - 1} + q_{n - 2}}, [a_{0}; a_{1}, \dots, a_{n - 1} + x] = \frac{p_{n - 1} + x p_{n - 2}}{q_{n - 1} + x q_{n - 2}}$

Teorema 2. Os converxentes de
$[a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots]$
veñen dados polos sucesivos truncamentos da fracción continua
$[a_{0}; a_{1}, \dots, a_{n}] = \frac{p_{n}}{q_{n}}$ ,

ou en forma de matriz, $[\begin{matrix} p_{n} & p_{n - 1} \\ q_{n} & q_{n - 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{0} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \dots [\begin{matrix} a_{n} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$

Teorema 3. Se o
$n$
-ésimo converxente da fracción continua é
$\frac{p_{n}}{q_{n}},$
daquela
$q_{n} p_{n - 1} - q_{n - 1} p_{n} = (- 1)^{n},$

ou equivalentemente

$\frac{p_{n}}{q_{n}} - \frac{p_{n - 1}}{q_{n - 1}} = \frac{(- 1)^{n + 1}}{q_{n - 1} q_{n}} .$

Corolario 1: Cada converxente está nos seus termos máis baixos.

Corolario 2: a diferenza entre converxentes sucesivos é unha fracción cuxo numerador é a unidade.

Corolario 3: a fracción continua pode expresarse como unha serie alterna:

a_{0} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{q_{n} q_{n + 1}} .

Corolario 4: A matriz $[\begin{matrix} p_{n} & p_{n - 1} \\ q_{n} & q_{n - 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{0} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \dots [\begin{matrix} a_{n} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$

ten determinante $(- 1)^{n + 1}$ , e, polo tanto, pertence ao grupo de matrices unimodulares de $2 \times 2$ , $G L (2, ℤ) .$

Corolario 5: A matriz $[\begin{matrix} p_{n} & p_{n - 2} \\ q_{n} & q_{n - 2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} p_{n} & p_{n - 1} \\ q_{n} & q_{n - 1} \end{matrix}] [\begin{matrix} a_{n} & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$ ten determinante $(- 1)^{n} a_{n}$ , ou equivalentemente, $\frac{p_{n}}{q_{n}} - \frac{p_{n - 2}}{q_{n - 2}} = \frac{(- 1)^{n}}{q_{n - 2} q_{n}} a_{n}$ o que significa que os termos impares diminúen monótonamente, mentres que os termos pares aumentan monótonamente.

Corolario 6: A secuencia de denominadores $q_{0}, q_{1}, q_{2}, \dots$ satisfai a relación de recorrencia $q_{- 1} = 0, q_{0} = 1, q_{n} = q_{n - 1} a_{n} + q_{n - 2}$ , e medra polo menos tan rápido como a secuencia de Fibonacci, que medra como $O (φ^{n})$ onde $φ = 1.618 \dots$ é a proporción áurea.

Teorema 4. Cada converxente está máis próximo do seguinte converxente que calquera converxente precedente.

Teorema 5.
$\frac{1}{q_{n} (q_{n + 1} + q_{n})} < | x - \frac{p_{n}}{q_{n}} | < \frac{1}{q_{n} q_{n + 1}} .$

Corolario 1: un converxente está máis preto do límite da fracción continua que calquera fracción cuxo denominador sexa menor que o do converxente.

Corolario 2: un converxente obtido terminando a fracción continua xusto antes dun coeficiente grande é unha aproximación moi preto ao límite da fracción continua.

Teorema 6: Considere o conxunto de todos os intervalos abertos con puntos finais
$[0; a_{1}, \dots, a_{n}], [0; a_{1}, \dots, a_{n} + 1]$
. Denotámolo como
$𝒞$
. Calquera subconxunto aberto de
$[0, 1] ∖ ℚ$
é unha unión disxunta de conxuntos de
$𝒞$
.

Corolario 1: a fracción continua infinita proporciona un homeomorfismo desde o espazo de Baire ata $[0, 1] ∖ ℚ$ .

Semiconverxentes

Se $\frac{p_{n - 1}}{q_{n - 1}}, \frac{p_{n}}{q_{n}}$ son converxentes consecutivos

daquela calquera fracción da forma $\frac{p_{n - 1} + m p_{n}}{q_{n - 1} + m q_{n}},$ onde $m$ é un número enteiro tal que $0 \leq m \leq a_{n + 1}$ , chámanse semiconverxentes, converxentes secundarios ou fraccións intermedias.

Mellor racional dentro dun intervalo

Un racional que cae dentro do intervalo (Modelo:Mvar, Modelo:Mvar), para Modelo:Math, pode atoparse coas fraccións continuas de Modelo:Mvar e Modelo:Mvar. Se ambos os dous son irracionais e

Modelo:Math

onde Modelo:Mvar e Modelo:Mvar teñen expansións idénticas até Modelo:Math,entón un racional que cae dentro do intervalo (Modelo:Mvar, Modelo:Mvar) vén dado pola fracción continua finita, $z (x, y) = [a_{0}; a_{1}, \dots, a_{k - 1}, m i n (a_{k}, b_{k}) + 1]$ .

Este racional será mellor no sentido de que ningún outro racional en (Modelo:Mvar, Modelo:Mvar) terá un numerador ou un denominador menor.

Se Modelo:Mvar é racional, terá dúas representacións de fracción continua que son finitas, Modelo:Math e Modelo:Math, e do mesmo xeito un racional Modelo:Mvar terá dúas representacións, Modelo:Math e Modelo:Math. Os coeficientes máis aló do último en calquera destas representacións deberían interpretarse como Modelo:Math; e o mellor racional será un de entre Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math ou Modelo:Math .

Por exemplo, a representación decimal 3.1416 pódese redondear a partir de calquera número do intervalo [3.14155, 3.14165). As expansións de 3.14155 e 3.14165 son

Modelo:Math

e o mellor racional entre estes dous é Modelo:Sfrac, corresponde ao número decimal aproximado a 3.1416, que é o mellor no sentido de que ningún outro número racional que se redondea a 3.1416 terá un numerador ou un denominador menor.

Teorema de Legendre sobre as fraccións continuas

No seu Essai sur la théorie des nombres (1798), Adrien-Marie Legendre deriva unha condición necesaria e suficiente para que un número racional sexa un converxente da fracción continua dun número real dado. ^[1] Unha consecuencia deste criterio, a miúdo chamado teorema de Legendre dentro do estudo das fraccións continuas, é a seguinte: ^[2]

Teorema. Se $α$ é un número real e Modelo:Mvar, Modelo:Mvar son enteiros positivos tales que $| α - \frac{p}{q} | < \frac{1}{2 q^{2}}$ , entón $\frac{p}{q}$ é un converxente da fracción continua de $α$ .

Comparación

Considere Modelo:Math e Modelo:Math . Se Modelo:Mvar é o índice máis pequeno para o cal Modelo:Math é desigual a Modelo:Math, entón Modelo:Math se Modelo:Math e Modelo:Math en caso contrario.

Se non existe tal Modelo:Mvar, pero unha expansión é máis curta que a outra, digamos Modelo:Math e Modelo:Math con Modelo:Math para Modelo:Math, entón Modelo:Math se Modelo:Mvar é par e Modelo:Math se Modelo:Mvar é impar.

Expansión en fracción continua de $π$ e os seus converxentes

Para calcular os converxentes de π podemos establecer Modelo:Math, definir Modelo:Math

[3;7,15,1,292,1,1,...] Modelo:OEIS .

O cuarto converxente de $π$ é [3;7,15,1] =Modelo:Sfrac ... , ás veces chamado Milü, que está bastante preto do verdadeiro valor de $π$ .

Fracción continua xeneralizada

Unha fracción continua xeneralizada é unha expresión da forma

x = b_{0} + \frac{a_{1}}{b_{1} + \frac{a_{2}}{b_{2} + \frac{a_{3}}{b_{3} + \frac{a_{4}}{b_{4} + ⋱}}}}

onde a_n (n > 0) son os numeradores parciais, os b_n os denominadores parciais e o termo principal b₀ chámase parte enteira da fracción continua.

Para ilustrar o uso de fraccións continuas xeneralizadas, considere o seguinte exemplo. A secuencia de denominadores parciais da fracción continua simple de π non mostra ningún patrón obvio:

π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, \dots]

No entanto, varias fraccións continuas xeneralizadas para π teñen unha estrutura perfectamente regular, como:

π = \frac{4}{1 + \frac{1^{2}}{2 + \frac{3^{2}}{2 + \frac{5^{2}}{2 + \frac{7^{2}}{2 + \frac{9^{2}}{2 + ⋱}}}}}} = \frac{4}{1 + \frac{1^{2}}{3 + \frac{2^{2}}{5 + \frac{3^{2}}{7 + \frac{4^{2}}{9 + ⋱}}}}} = 3 + \frac{1^{2}}{6 + \frac{3^{2}}{6 + \frac{5^{2}}{6 + \frac{7^{2}}{6 + \frac{9^{2}}{6 + ⋱}}}}}

π = 2 + \frac{2}{1 + \frac{1}{1 / 2 + \frac{1}{1 / 3 + \frac{1}{1 / 4 + ⋱}}}} = 2 + \frac{2}{1 + \frac{1 \cdot 2}{1 + \frac{2 \cdot 3}{1 + \frac{3 \cdot 4}{1 + ⋱}}}}

π = 2 + \frac{4}{3 + \frac{1 \cdot 3}{4 + \frac{3 \cdot 5}{4 + \frac{5 \cdot 7}{4 + ⋱}}}}

Os dous primeiros son casos especiais da función arctanxente con π = 4 arctan(1) e o terceiro pódese derivar usando o produto de Wallis . Modelo:Sfn Modelo:Sfn

π = 3 + \frac{1}{6 + \frac{1^{3} + 2^{3}}{6 \cdot 1^{2} + 1^{2} \frac{1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3}}{6 \cdot 2^{2} + 2^{2} \frac{1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} + 6^{3}}{6 \cdot 3^{2} + 3^{2} \frac{1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} + 6^{3} + 7^{3} + 8^{3}}{6 \cdot 4^{2} + ⋱}}}}}

A fracción continua de $π$ arriba usa a serie Nilakantha e unha idea de Leonhard Euler. Modelo:Sfn

Outras expansións de fraccións continuas

Fraccións continuas periódicas

Os números con expansión periódica de fraccións continuas son precisamente as solucións irracionais das ecuacións cadráticas con coeficientes racionais. Os exemplos máis sinxelos son a razón áurea $φ$ = [1;1,1,1,1,1,...] e Modelo:Sqrt = [1;2,2,2,2,...], mentres que outros exemplos teñen un período maior, Modelo:Sqrt = [3;1,2,1,6,1,2,1,6...] e Modelo:Sqrt = [6;2,12,2,12,2,12...]. Todas as raíces cadradas irracionais de números enteiros teñen como período unha cadea simétrica e despois seguida do duplo do enteiro principal; por exemplo a cadea baleira (para Modelo:Sqrt) seguida dun 2 (duplo de 1) ou a cadea (1,2,1) (para Modelo:Sqrt) seguida dun 6 (duplo de 3).

Propiedade da proporción áurea φ

Debido a que a expansión en fracción continua para φ = $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ non usa ningún número enteiro maior que 1, φ é o números máis distante a un número racional. O teorema de Hurwitz Modelo:Sfn afirma que calquera número irracional Modelo:Mvar pode ser aproximado por infinitos racionaisModelo:Sfrac con

| k - \frac{m}{n} | < \frac{1}{n^{2} \sqrt{5}} .

Tamén se pode demostrar que cada número real da forma Modelo:Sfrac, onde Modelo:Mvar, Modelo:Mvar, Modelo:Mvar e Modelo:Mvar son números enteiros tales que Modelo:Math, comparte esta propiedade coa proporción áurea φ; e que todos os demais números reais poden aproximarse mellor.

Patróns regulares en fraccións continuas

Aínda que non hai un patrón discernible na expansión de fracción continua simple de π, hai un para Modelo:Math, a base do logaritmo natural :

e = e^{1} = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, \dots],

que é un caso especial desta expresión xeral para o número enteiro positivo Modelo:Mvar:

e^{1 / n} = [1; n - 1, 1, 1, 3 n - 1, 1, 1, 5 n - 1, 1, 1, 7 n - 1, 1, 1, \dots] .

Outras fraccións continuas deste tipo son

\tanh (1 / n) = [0; n, 3 n, 5 n, 7 n, 9 n, 11 n, 13 n, 15 n, 17 n, 19 n, \dots]

onde Modelo:Mvar é un número enteiro positivo.

Tamén, con Modelo:Mvar enteiro temos:

\tan (1 / n) = [0; n - 1, 1, 3 n - 2, 1, 5 n - 2, 1, 7 n - 2, 1, 9 n - 2, 1, \dots],

cun caso especial para Modelo:Math :

\tan (1) = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15, 1, 17, 1, 19, 1, \dots] .

Se Modelo:Math é a función de Bessel modificada, ou hiperbólica, do primeiro tipo, podemos definir unha función sobre os racionais Modelo:Sfrac por

S (p / q) = \frac{I_{p / q} (2 / q)}{I_{1 + p / q} (2 / q)},

que se define para todos os números racionais, con Modelo:Mvar e Modelo:Mvar nos termos máis baixos. Daquela, para todos os racionais non negativos, temos

S (p / q) = [p + q; p + 2 q, p + 3 q, p + 4 q, \dots],

en particular temos

S (0) = S (0 / 1) = [1; 2, 3, 4, 5, 6, 7, \dots] .

Moitas das fórmulas pódense probar usando a fracción continua de Gauss.

Comportamento dos coeficientes

A maioría dos números irracionais non teñen ningún comportamento periódico ou regular na súa expansión continua de fraccións. Non obstante, para case todos os números do intervalo unitario, teñen o mesmo comportamento límite.

A media aritmética diverxe: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = + \infty$ , e así os coeficientes medran arbitrariamente: $\underset{n}{lim sup} a_{n} = + \infty$ . En particular, isto implica que case todos os números son ben aproximables, no sentido de que $\underset{n \to \infty}{lim inf} | x - \frac{p_{n}}{q_{n}} | q_{n}^{2} = 0$ Khinchin demostrou que a media xeométrica de Modelo:Math tende a unha constante (coñecida como constante de Khinchin ): $\lim_{n \to \infty} {(a_{1} a_{2} . . . a_{n})}^{1 / n} = K_{0} = 2.6854520010 \dots$ Paul Lévy demostrou que a raíz Modelo:Mvar-ésima do denominador do Modelo:Mvar-ésimo converxente converxe á constante de Lévy. $\lim_{n \to \infty} q_{n}^{1 / n} = e^{π^{2} / (12 \ln 2)} = 3.2758 \dots$ O teorema de Lochs afirma que os converxentes converxen exponencialmente a razón de $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln | x - \frac{p_{n}}{q_{n}} | = - \frac{π^{2}}{6 \ln 2}$

Aplicacións

Raíces cadradas

As fraccións continuas xeneralizadas utilízanse nun método para calcular raíces cadradas.

A identidadeModelo:Bloque numeradoleva por recursividade á fracción continua xeneralizada para calquera raíz cadrada: Modelo:Sfn Modelo:Bloque numerado

Ecuación de Pell

As fraccións continuas xogan un papel esencial na solución da ecuación de Pell. Por exemplo, para os enteiros positivos Modelo:Mvar e Modelo:Mvar, e Modelo:Mvar non cadrado, é certo que se Modelo:Math, entón p/q é un converxente da fracción continua regular para $\sqrt{n}$ . O recíproco vale se o período da fracción continua regular para $\sqrt{n}$ é 1 e, en xeral, o período describe que converxentes dan solución á ecuación de Pell.

Sistemas dinámicos

As fraccións continuas tamén xogan un papel no estudo dos sistemas dinámicos, onde vinculan as fraccións de Farey que se ven no conxunto de Mandelbrot coa función de signo de interrogación de Minkowski e o grupo modular Gamma.

O operador de desprazamento cara atrás para fraccións continuas é o mapa Modelo:Math chamado mapa de Gauss, que corta os díxitos dunha expansión en fracción continua: Modelo:Math . O operador de transferencia deste mapa chámase operador de Gauss–Kuzmin–Wirsing. A distribución dos díxitos en fraccións continuas vén dada polo vector propio cero deste operador, e chámase distribución de Gauss–Kuzmin.

Valores propios e vectores propios

O algoritmo de Lanczos usa unha expansión en fracción continua para aproximar de forma iterativa os eigenvalores e os eigenvectores cando temos unha matriz dispersa grande. Modelo:Sfn

Aplicacións de rede

As fraccións continuas tamén se utilizaron para modelar problemas de optimización para a virtualización de redes sen fíos para atopar unha ruta entre unha fonte e un destino. Modelo:Sfn

Exemplos de números racionais e irracionais


Número	r	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
123	a_r	123
123	ra	123
12.3	a_r	12	3	3
12.3	ra	12	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac
1.23	a_r	1	4	2	1	7
1.23	ra	1	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac
0.123	a_r	0	8	7	1	2	5
0.123	ra	0	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac
Φ = $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$	a_r	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
Φ = $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$	ra	1	2	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac
-Φ = $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$	a_r	-2	2	1	1	1	1	1	1	1	1	1
-Φ = $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$	ra	-2	-Modelo:Sfrac	-Modelo:Sfrac	-Modelo:Sfrac	-Modelo:Sfrac	-Modelo:Sfrac	-Modelo:Sfrac	-Modelo:Sfrac	-Modelo:Sfrac	-Modelo:Sfrac	-Modelo:Sfrac
$\sqrt{2}$	a_r	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
$\sqrt{2}$	ra	1	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac
$\frac{1}{\sqrt{2}}$	a_r	0	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2
$\frac{1}{\sqrt{2}}$	ra	0	1	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac
$\sqrt{3}$	a_r	1	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2
$\sqrt{3}$	ra	1	2	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac
$\frac{1}{\sqrt{3}}$	a_r	0	1	1	2	1	2	1	2	1	2	1
$\frac{1}{\sqrt{3}}$	ra	0	1	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac
$\frac{\sqrt{3}}{2}$	a_r	0	1	6	2	6	2	6	2	6	2	6
$\frac{\sqrt{3}}{2}$	ra	0	1	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac
$\sqrt[3]{2}$	a_r	1	3	1	5	1	1	4	1	1	8	1
$\sqrt[3]{2}$	ra	1	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac
e	a_r	2	1	2	1	1	4	1	1	6	1	1
e	ra	2	3	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac
π	a_r	3	7	15	1	292	1	1	1	2	1	3
π	ra	3	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac	Modelo:Sfrac
Número	r	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

ra : é o converxente correspndente a a_r

Historia

300 a. C. Os Elementos de Euclides contén un algoritmo para o máximo común divisor, cuxa versión moderna xera unha fracción continua como a secuencia de cocientes de aplicar o algoritmo de Euclides.
499 O Aryabhatiya contén a solución de ecuacións indeterminadas utilizando fraccións continuas
1572 Rafael Bombelli, L'Algebra Opera - método para a extracción de raíces cadradas que está relacionado con fraccións continuas
1613 Pietro Cataldi, Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri - primeira notación para fraccións continuas
1695 John Wallis, Opera Mathematica - introdución do termo "fracción continua"
1737 Leonhard Euler, De fractionibus continuis dissertatio – Proporcionou o primeiro relato completo das propiedades das fraccións continuas e incluíu a primeira proba de que o número e é irracional. Modelo:Sfn
1748 Euler, Introdución á análise infinita . Vol. I, Capítulo 18: demostrou a equivalencia dunha determinada forma de fracción continua e dunha serie infinita xeneralizada, demostrou que todo número racional pode escribirse como unha fracción continua finita e demostrou que a fracción continua dun número irracional é infinita. Modelo:Sfn
1761 Johann Lambert – deu a primeira proba da irracionalidade de π usando unha fracción continua para tan(x) .
1768 Joseph-Louis Lagrange : proporcionou a solución xeral da ecuación de Pell usando fraccións continuas similares ás de Bombelli.
1770 Lagrange – demostrou que os irracionais cadráticos expanden en fraccións continuas periódicas.
1813 Carl Friedrich Gauss, Werke, vol. 3, pp. 134–138: obtivo unha fracción continua de valores complexos moi xeral mediante unha identidade que implica a función hiperxeométrica
1892 Henri Padé define Padé aproximante
1972 Bill Gosper - Primeiros algoritmos exactos para a aritmética de fraccións continuas.

Notas

Modelo:Listaref

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Fracción exipcia

Modelo:Control de autoridades

[1] Modelo:Cita libro

[2] Modelo:Cita publicación periódica

[1]

[2]

Fracción continua

Índice

Motivación e notación

Cálculo de expansións en fracción continua

Notacións

Recíprocos

Fraccións continuas infinitas e converxentes

Propiedades alxébricas

Algúns teoremas útiles

Semiconverxentes

Mellor racional dentro dun intervalo

Teorema de Legendre sobre as fraccións continuas

Comparación

Expansión en fracción continua de $π$ e os seus converxentes

Fracción continua xeneralizada

Outras expansións de fraccións continuas

Fraccións continuas periódicas

Propiedade da proporción áurea φ

Patróns regulares en fraccións continuas

Comportamento dos coeficientes

Aplicacións

Raíces cadradas

Ecuación de Pell

Sistemas dinámicos

Valores propios e vectores propios

Aplicacións de rede

Exemplos de números racionais e irracionais

Historia

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Menú de navegación

Fracción continua

Motivación e notación

Cálculo de expansións en fracción continua

Notacións

Recíprocos

Fraccións continuas infinitas e converxentes

Propiedades alxébricas

Algúns teoremas útiles

Semiconverxentes

Mellor racional dentro dun intervalo

Teorema de Legendre sobre as fraccións continuas

Comparación

Expansión en fracción continua de π e os seus converxentes

Fracción continua xeneralizada

Outras expansións de fraccións continuas

Fraccións continuas periódicas

Propiedade da proporción áurea φ

Patróns regulares en fraccións continuas

Comportamento dos coeficientes

Aplicacións

Raíces cadradas

Ecuación de Pell

Sistemas dinámicos

Valores propios e vectores propios

Aplicacións de rede

Exemplos de números racionais e irracionais

Historia

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Menú de navegación

Procura

Expansión en fracción continua de $π$ e os seus converxentes