Constante de Khinchin

En teoría de números, Aleksandr Yakovlevich Khinchin demostrou que para case todos os números reais x, os coeficientes a_i da fracción continua de x teñen unha media xeométrica finita que é independente do valor de x e que se coñece como constante de Khinchin.

$x=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{\ddots }}}}$

case sempre é certo que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(a_1{a}_2...a_n)}^{1/n}=K_0$

onde $K_0$ é a constante de Khinchin

$K_0=\prod _{r=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{1}{r(r+2)})}^{{\log }_{2}r}\approx 2.6854520010\dots$ Modelo:OEIS

(onde $\prod$ denota o produto en todos os termos da secuencia).

Entre os números cuxas expansións de fraccións continuas aparentemente teñen esta propiedade (baseada na evidencia numérica) están π, a constante de Euler-Mascheroni γ, a constante de Apéry ζ(3) e a propia constante de Khinchin. Non obstante, isto non está probado.

Entre os números x cuxas expansións de fraccións continuas se sabe que non teñen esta propiedade están os números racionais, as raíces das ecuacións de segundo grao (incluíndo a razón áurea Φ e as raíces cadradas de números enteiros) e a base do logaritmo natural e. Isto é consecuente con que estes números teñen ou fracción continua finita ou fracción continua períodica (ou cuase-períodica no caso de e).

Khinchin ás veces escríbese Khintchine (a transliteración francesa do ruso Хинчин) na literatura matemática máis antiga.

Esbozo da proba

A proba aquí presentada foi presentada por Czesław Ryll-Nardzewski e é moito máis sinxela que a proba orixinal de Khinchin que non utilizaba a teoría ergódica .

Dado que o primeiro coeficiente a₀ da fracción continua de x non xoga ningún papel no teorema de Khinchin e dado que os números racionais teñen a medida de Lebesgue cero, redúcese ao estudo dos números irracionais no intervalo $I=[0,1]\setminus \mathbb{Q}$. Estes números están en bixección con fraccións continuas infinitas da forma [0; a₁ , a₂ , ...], que simplemente escribimos [a₁, a₂, ...], onde a₁, a₂, ... son enteiros positivos. Definamos unha transformación T : I → I por

$T([a_1,a_2,\dots ])=[a_2,a_3,\dots ].$

A transformación T chámase operador de Gauss–Kuzmin–Wirsing. Para cada subconxunto de Borel E de I, tamén definimos a medida de Gauss-Kuzmin de E

$\mu (E)=\frac{1}{\log 2}\underset{E}{\int }\frac{dx}{1+x}.$

Entón μ é unha medida de probabilidade na σ-álxebra dos subconxuntos de Borel de I. A medida μ é equivalente á medida de Lebesgue en I, mais ten a propiedade adicional de que a transformación T conserva a medida μ. Ademais, pódese demostrar que T é unha transformación ergódica do espazo medible dotado coa medida de probabilidade μ (esta é a parte difícil da demostración). O teorema ergódico di entón que para calquera función f integrable μ en I, o valor medio de $f\left(T^{k}x\right)$ é o mesmo para case todos os $x$:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}(f\circ T^k)(x)=\underset{I}{\int }fd\mu \text{para }\mu \text{-case todos }x\in I.$

Aplicando isto á función definida por f ([a₁, a₂, ...]) = log(a₁), obtemos que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\log (a_k)=\underset{I}{\int }fd\mu =\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}\log (r)\frac{\log (1+\frac{1}{r(r+2)})}{\log 2}$

para case todos [a₁, a₂, ...] en I cando n → $\mathrm{\infty }$.

Tomando a exponencial a ambos os dous lados, obtemos á esquerda a media xeométrica dos n primeiros coeficientes da fracción continua e á dereita a constante de Khinchin.

Expresións en serie

A constante de Khinchin pódese expresar como unha serie zeta racional na forma

$\log K_0=\frac{1}{\log 2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n)-1}{n}\sum _{k=1}^{2n-1}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}$

Media de Hölder

A constante de Khinchin pódese ver como a primeira dunha serie de medias de Hölder dos termos das fraccións continuas. Dada unha serie arbitraria {a_n}, a media de Hölder de orde p da serie vén dada por

$K_p=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left[\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k^p\right]}^{1/p}.$

Cando os {a_n} son os termos da expansión da fracción continua, as constantes veñen dadas por

$K_p={[\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}-k^p{\log }_2(1-\frac{1}{(k+1{)}^2})]}^{1/p}.$

Isto obtense tomando a p-ésima media en conxunto coa distribución de Gauss–Kuzmin. Isto é finito cando $p<1$ .

A media aritmética diverxe: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k=K_1=+\mathrm{\infty }$, e así os coeficientes medran arbitrariamente: $\underset{n}{\mathrm{lim\; sup}}{a}_n=+\mathrm{\infty }$ .

O valor de K ₀ obtense no límite de p → 0.

A media harmónica ( p = − 1) é

$K_{-1}=1.74540566240\dots$ Modelo:OEIS.

Problemas abertos

• Pénsase que π, a constante γ de Euler-Mascheroni e a propia constante de Khinchin, baseada en evidencias numéricas, están entre os números cuxa media xeométrica dos coeficientes a_i na súa expansión como fracción continua tende á constante de Khinchin. No entanto, ningún destes límites foi establecido con rigor.
• Non se sabe se a constante de Khinchin é un número racional, alxébrico irracional ou transcendental.

Véxase tamén

Outros artigos

• Teorema de Lochs
• A constante de Lévy
• Lista de constantes matemáticas

Modelo:Control de autoridades