Número irracional

Modelo:1000 artigos icona título Modelo:Barra lateral Os números irracionais son aqueles elementos da recta real que non son expresables mediante fraccións usando as operacións internas deste conxunto. É dicir, un número irracional non pode expresarse da forma a/b sendo a e b enteiros.

Os números irracionais caracterízanse por posuír infinitas cifras decimais que non seguen ningún patrón repetitivo, e isto os diferenza dos números racionais. Os máis célebres números irracionais son identificados mediante símbolos. Algúns destes son:

• π (pi): relación entre o perímetro dunha circunferencia e o seu diámetro.
• e (Modelo:OEIS = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...):

$e=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x$

• $\mathrm{\Phi }$ (Número áureo):$=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$
• Algúns logaritmos: ${\log }_{2}3$

Os números reais Modelo:Tmath están divididos nos números irracionais $𝕀$ e nos números racionais Modelo:Tmath, estes últimos inclúen os enteiros Modelo:Tmath, que á súa vez inclúen os números naturais Modelo:Tmath.

Demostración

Un exemplo destes números irracionais é a raíz cadrada de 2. Para comprobalo podemos partir inicialmente de que a raíz cadrada de 2 si pode ser un número racional.

$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$

Iso significaría que m e n non teñen factores comúns, porque se non, poderiamos simplificar esa fracción ata atopar un factor común. Se elevamos os dous termos da ecuación ao cadrado temos

$2=\frac{m^2}{n^2}$

Aquí podemos deducir que m é un número par, porque dado que $n^2\times 2=m^2$ , m sempre será par ao proceder dun produto de 2.

Polo tanto, se m é par podemos expresalo como m=2k. E se elevamos isto ao cadrado temos que

$m^2=4k^2$

Ou o que é o mesmo

$2n^2=4k^2\to n^2=2k^2$

Co que chegamos á conclusión de que n tamén é par. Pero iso non é posible, porque levaría a que m e n tivesen un factor común, e iso descartámolo ao comezo. Esta reductio ad absurdum é a que nos indica que as nosas premisas eran erróneas e que $\sqrt{2}$ non pode ser racional.

Tipos

Un número irracional pode ser alxébrico, é dicir, unha raíz real dun polinomio con coeficientes enteiros. Os que non son alxébricos son transcendentais.

Alxébrico

Os números alxébricos reais son as solucións reais de ecuacións polinómicas

$p(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0,$

onde os coeficientes $a_i$ son números enteiros e $a_n\ne 0$. Un exemplo de número alxébrico irracional é $x_0=(2^{1/2}+1{)}^{1/3}$. É claramente alxébrico xa que é a raíz dun polinomio enteiro, $(x^3-1{)}^2=2$, que é equivalente a $x^6-2x^3-1=0$. Este polinomio non ten raíces racionais, xa que o teorema das raíces racionais mostra que as únicas posibilidades son ±1, pero x₀ é maior que 1. Así que x₀ é un número alxébrico irracional.

Transcendental

Os números transcendentais non poden ser solución de ningunha ecuación alxébrica. Por exemplo, o número áureo é unha das raíces da ecuación $x^2-x-1=0$, polo que non é un número transcendente. Pola contra, pi e e si son transcendentes.

Case todos os números irracionais son transcendentais. Exemplos son $e^r$ e mais ${\pi }^r$ que son transcendentais para todos os Modelo:Mvar racionais distintos de cero.

Como os números alxébricos forman un subcorpo dos números reais, pódense construír moitos números reais irracionais combinando números transcendentais e alxébricos. Por exemplo, $3\pi +2,\pi +\sqrt{2},e\sqrt{3}$, son irracionais (e mesmo transcendentais).

Os números irracionais non son numerables ou contables, é dicir que entre dous irracionais calquera existen infinitos números irracionais. Por extensión os números reais tampouco son contables xa que inclúen o conxunto dos irracionais.

Preguntas abertas

• Varias combinacións de Modelo:Math, Modelo:Math e funcións elementais (como Modelo:Math, Modelo:Mvar, Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Mvar^Modelo:Mvar, Modelo:Math) non se sabe se son irracionais, en parte porque non se sabe que Modelo:Math e Modelo:Math sexan alxebricamente independentes. A conxectura de Schanuel implicaría que todos os números anteriores son irracionais e mesmo transcendentes.
• A pregunta sobre a irracionalidade da constante de Euler-Mascheroni Modelo:Mvar é un problema aberto de longa data na teoría dos números.
• Outros números importantes que non se sabe que son irracionais son as constantes zeta impares Modelo:Math para Modelo:Math e a constante de Catalan Modelo:Math.

Véxase tamén

Outros artigos

• Número.
• Matemáticas.
• Xerardo de Cremona.
• Medida da irracionalidade
• Proba da irracionalidade de π