Constante de Catalan

En matemáticas, a constante de Catalan Modelo:Mvar, tamén denominada coa letra Modelo:Mvar, defínese por

$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}-\cdots ,$

onde Modelo:Mvar é a función beta de Dirichlet. O seu valor numérico é aproximadamente Modelo:OEIS

Modelo:Math 

Non está demostrado que Modelo:Mvar é irracional, e moito menos transcendental. De Modelo:Mvar díxose "sen dúbida a constante máis básica cuxa irracionalidade e transcendencia (aínda que se sospeita fortemente) seguen sen probarse". A constante de Catalan recibiu o nome de Eugène Charles Catalan, quen atopou series de rápida converxencia para o seu cálculo e publicou unha memoria sobre ela en 1865.

Usos

En combinatoria e mecánica estatística, xorde en relación coa contaxe de mosaicos de dominó, árbore de extensión, e ciclos hamiltonianos de grafos de retícula.

En teoría de números, a constante de Catalan aparece nunha fórmula conxecturada para o número asintótico de primos da forma $n^2+1$ segundo a conxectura F de Hardy e Littlewood. Porén, é un problema sen resolver (un dos problemas de Landau) se hai incluso infinitos números primos desta forma.

Identidades en forma de integral

A constante de Catalan permite resolver moitas integrais con logaritmos. A maiores móstrase unha lista de integrais con valor $G$:$$\begin{array}{cc}G& =\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln t}{1+t^2}dt\\ G& =-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln t}{1+t^2}dt\\ G& =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{t}{\sin t}dt\\ G& =\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\ln \cot tdt\\ G& =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\ln (\sec t+\tan t)dt\\ G& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\arccos t}{\sqrt{1+t^2}}dt\\ G& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{arcsinh}t}{\sqrt{1-t^2}}dt\\ G& =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\arctan t}{t\sqrt{1+t^2}}dt\\ G& =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{arctanh}t}{\sqrt{1-t^2}}dt\\ G& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{arccot}{e}^{t}dt\\ G& =\frac{1}{4}\underset{0}{\overset{{\pi }^2/4}{\int }}\csc \sqrt{t}dt\\ G& =\frac{1}{16}({\pi }^2+4\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{arccsc}}^{2}tdt)\\ G& =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t}{\cosh t}dt\\ G& =\frac{\pi }{2}\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{(t^4-6t^2+1)\ln \ln t}{{(1+t^2)}^3}dt\\ G& =-\frac{1}{\pi i}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\ln \ln \tan x\ln \tan xdx\\ G& =\underset{[0,1{]}^2}{\iint }\frac{1}{1+x^2{y}^2}dxdy\\ G& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1-x}{\int }}\frac{1}{1-x^2-y^2}dydx\\ G& =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\arcsin (\sin t)}{t}dt\\ G& =1+\underset{\alpha \to 1^{-}}{\lim }\{\underset{0}{\overset{\alpha }{\int }}\frac{(1+6t^2+t^4)\arctan t}{t{(1-t^2)}^2}dt+2\mathrm{artanh}\alpha -\frac{\pi \alpha }{1-{\alpha }^2}\}\\ G& =1-\frac{1}{8}\underset{{ℝ}^2}{\iint }\frac{x\sin (2xy/\pi )}{(x^2+{\pi }^2)\cosh x\sinh y}dxdy\\ G& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sqrt[4]{x}(\sqrt{x}\sqrt{y}-1)}{(x+1{)}^2\sqrt[4]{y}(y+1{)}^2\log (xy)}dxdy\end{array}$$Se Modelo:Math é a integral elíptica completa do primeiro tipo, en función do módulo elíptico Modelo:Math, daquela$$G=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{K}(k)dk$$Se Modelo:Math é a integral elíptica completa do segundo tipo, en función do módulo elíptico Modelo:Math, daquela$$G=-\frac{1}{2}+\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{E}(k)dk$$Coa función gamma Modelo:Math$$\begin{array}{cc}G& =\frac{\pi }{4}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{\Gamma }(1+\frac{x}{2})\mathrm{\Gamma }(1-\frac{x}{2})dx\\ & =\frac{\pi }{2}\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\mathrm{\Gamma }(1+y)\mathrm{\Gamma }(1-y)dy\end{array}$$A integral$$G={\mathrm{Ti}}_2(1)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\arctan t}{t}dt$$é unha función especial coñecida, chamada integral tanxente inversa, e foi estudada amplamente por Srinivasa Ramanujan .

Relación con outras funcións especiais

Modelo:Mvar aparece en valores da segunda función poligamma, tamén chamada función trigamma, con argumentos con fraccións:$$\begin{array}{cc}{\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)& ={\pi }^2+8G\\ {\psi }_1\left(\frac{3}{4}\right)& ={\pi }^2-8G.\end{array}$$A constante de Catalan ocorre con frecuencia en relación coa función de Clausen, a integral tanxente inversa, a integral do seno inverso, a [[Función G de Barnes|función Modelo:Mvar de Barnes]], así como as integrais e series sumables en función das funcións mencionadas anteriormente.

Se se define o trascendente de Lerch Modelo:Math (relacionado coa función zeta de Lerch) por$$\mathrm{\Phi }(z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{(n+\alpha {)}^s},$$daquela$$G=\frac{1}{4}\mathrm{\Phi }(-1,2,\frac{1}{2}).$$

Series de converxencia rápida

As dúas fórmulas seguintes implican series de converxencia rápida e, polo tanto, son apropiadas para o cálculo numérico:$$\begin{array}{cc}G& =3\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{4n}}(-\frac{1}{2(8n+2{)}^2}+\frac{1}{2^2(8n+3{)}^2}-\frac{1}{2^3(8n+5{)}^2}+\frac{1}{2^3(8n+6{)}^2}-\frac{1}{2^4(8n+7{)}^2}+\frac{1}{2(8n+1{)}^2})-\\ & -2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{12n}}(\frac{1}{2^4(8n+2{)}^2}+\frac{1}{2^6(8n+3{)}^2}-\frac{1}{2^9(8n+5{)}^2}-\frac{1}{2^{10}(8n+6{)}^2}-\frac{1}{2^{12}(8n+7{)}^2}+\frac{1}{2^3(8n+1{)}^2})\end{array}$$e$$G=\frac{\pi }{8}\log (2+\sqrt{3})+\frac{3}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1{)}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}.$$Os fundamentos teóricos destas series son dados por Broadhurst, para a primeira fórmula, e Ramanujan, para a segunda fórmula. Os algoritmos para a avaliación rápida da constante de Catalan foron construídos por E. Karatsuba. Usando estas series, calcular a constante de Catalan é case tan rápido como calcular a constante de Apery $\zeta (3)$.

Fracción continua

Modelo:Mvar pode expresarse do seguinte xeito

$G=\frac{1}{1+\frac{1^4}{8+\frac{3^4}{16+\frac{5^4}{24+\frac{7^4}{32+\frac{9^4}{40+\ddots }}}}}}$

A fracción continua simple vén dada por

$G=\frac{1}{1+\frac{1}{10+\frac{1}{1+\frac{1}{8+\frac{1}{1+\frac{1}{88+\ddots }}}}}}$

Esta fracción continua tería infinitos termos se e só se $G$ é irracional, que aínda está sen resolver.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Lista de constantes matemáticas
• Valores particular da función zeta de Riemann zeta

Ligazóns externas

• Modelo:Cita web (Dá máis de 100 identidades diferentes).
• Modelo:MathWorld

• Modelo:Springer

Modelo:Control de autoridades