Unipotente

En matemáticas, un elemento unipotente r dun anel R é tal que r − 1 é un elemento nilpotente; noutras palabras, (r − 1)ⁿ é cero para algún n.

En particular, unha matriz cadrada M é unha matriz unipotente se e só se o seu polinomio característico P (t) é unha potencia de t − 1. Así, todos os valores propios dunha matriz unipotente son 1. Ou visto doutro xeito $(M-I{)}^k=0$ para algún enteiro Modelo:Mvar.

O termo case-unipotente significa que algunha potencia é unipotente, por exemplo para unha matriz diagonalizábel con eigenvalores que son todas raíces da unidade.

Na teoría dos grupos alxébricos, un elemento de grupo é unipotente se actúa de forma unipotente nunha determinada representación de grupo natural. Un grupo alxébrico afín unipotente é logo un grupo con todos os elementos unipotentes.

Definición

Definición con matrices

Considere o grupo ${𝕌}_n$ de matrices triangulares superiores con $1$ ao longo de toda a diagonal, polo que son o grupo de matrices

${𝕌}_n=\left\{\left[\begin{array}{ccccc}1& *& \cdots & *& *\\ 0& 1& \cdots & *& *\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& *\\ 0& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right]\right\}.$

Daquela, un grupo unipotente pódese definir como un subgrupo dalgún ${𝕌}_n$.

Utilizando a teoría de esquemas, o grupo ${𝕌}_n$ pódese definir como o esquema de grupo

$\text{Spec}\left(\frac{ℂ[x_{11},x_{12},\dots ,x_{nn},\frac{1}{\text{det}}]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}\right)$

e un esquema de grupo afín é unipotente se é un esquema pechado de grupo deste esquema.

Exemplos

U_n

O grupo das matrices ${𝕌}_n$ é unipotente. Usando a serie central inferior

${𝕌}_n={𝕌}_n^{(0)}\supset {𝕌}_n^{(1)}\supset {𝕌}_n^{(2)}\supset \cdots \supset {𝕌}_n^{(m)}=e$

onde

${𝕌}_n^{(1)}=[{𝕌}_n,{𝕌}_n]$ e ${𝕌}_n^{(2)}=[{𝕌}_n,{𝕌}_n^{(1)}]$

hai grupos unipotentes asociados. Por exemplo, para $n=4$, a serie central son os grupos matriciais

${𝕌}_4=\left\{\left[\begin{array}{cccc}1& *& *& *\\ 0& 1& *& *\\ 0& 0& 1& *\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\right\}$, ${𝕌}_4^{(1)}=\left\{\left[\begin{array}{cccc}1& 0& *& *\\ 0& 1& 0& *\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\right\}$, ${𝕌}_4^{(2)}=\left\{\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& *\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\right\}$, e ${𝕌}_4^{(3)}=\left\{\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\right\}$

. Modelo:Matemáticas en progreso

Véxase tamén

Outros artigos

• Nilpotente.
• Idempotencia.

Ligazóns externas

• Unipotent (Math World).

Modelo:Control de autoridades