Polinomio simétrico elemental

En matemáticas, concretamente en álxebra conmutativa, os polinomios simétricos elementais son un tipo de bloque básico para polinomios simétricos, no sentido de que calquera polinomio simétrico pode expresarse como polinomio en polinomios simétricos elementais. É dicir, calquera polinomio simétrico Modelo:Math vén dado por unha expresión que só implica sumas e multiplicacións de constantes e polinomios simétricos elementais. Hai un polinomio simétrico elemental de grao Modelo:Math en Modelo:Math variábeis para todo número enteiro positivo Modelo:Math, e fórmase sumando todos os produtos distintos de Modelo:Math variábeis distintas.

Definición

Os polinomios simétricos elementais en Modelo:Math variábeis Modelo:Math , escritos Modelo:Math para Modelo:Math , defínense por

$\begin{array}{cc}{e}_1(X_1,X_2,\dots ,X_n)& =\sum _{1\le j\le n}{X}_j,\\ e_2(X_1,X_2,\dots ,X_n)& =\sum _{1\le j<k\le n}{X}_j{X}_k,\\ e_3(X_1,X_2,\dots ,X_n)& =\sum _{1\le j<k<l\le n}{X}_j{X}_k{X}_l,\\ \end{array}$

e igual para o resto, rematando con

$e_n(X_1,X_2,\dots ,X_n)=X_1{X}_2\cdots X_n.$

En xeral, para Modelo:Math definimos

$e_k(X_1,\dots ,X_n)=\sum _{1\le j_1<j_2<\cdots <j_k\le n}{X}_{j_1}\cdots X_{j_k},$

de xeito que Modelo:Math se Modelo:Math. (Ás veces, Modelo:Math inclúese entre os polinomios simétricos elementais, pero excluíndoo permite unha formulación xeralmente máis sinxela de resultados e propiedades.)

Así, para cada número enteiro positivo Modelo:Mvar menor ou igual a Modelo:Mvar existe exactamente un polinomio simétrico elemental de grao Modelo:Mvar en Modelo:Mvar variábeis. Para formar o que ten o grao Modelo:Mvar, sumamos todos os produtos de Modelo:Mvarsubconxuntos das Modelo:Mvar variábeis . (Polo contrario, se se realiza a mesma operación usando varios conxuntos de variábeis, é dicir, tomando variábeis con repetición, chégase aos polinomios simétricos homoxéneos completos).

Dada unha partición enteira (é dicir, unha secuencia finita non crecente de números enteiros positivos) Modelo:Math, defínese o polinomio simétrico Modelo:Math, tamén chamado polinomio simétrico elemental, por

$e_{\lambda }(X_1,\dots ,X_n)=e_{{\lambda }_1}(X_1,\dots ,X_n)\cdot e_{{\lambda }_2}(X_1,\dots ,X_n)\cdots e_{{\lambda }_m}(X_1,\dots ,X_n)$ .

Ás veces úsase a notación Modelo:Math en lugar de Modelo:Math .

Exemplos

A continuación enuméranse os Modelo:Math polinomios simétricos elementais para os catro primeiros valores positivos de Modelo:Math.

Para Modelo:Math:

$e_1(X_1)=X_1.$

Para Modelo:Math :

$\begin{array}{cc}{e}_1(X_1,X_2)& =X_1+X_2,\\ e_2(X_1,X_2)& =X_1{X}_2.\\ \end{array}$

Para Modelo:Math :

$\begin{array}{cc}{e}_1(X_1,X_2,X_3)& =X_1+X_2+X_3,\\ e_2(X_1,X_2,X_3)& =X_1{X}_2+X_1{X}_3+X_2{X}_3,\\ e_3(X_1,X_2,X_3)& =X_1{X}_2{X}_3.\\ \end{array}$

Para Modelo:Math :

$\begin{array}{cc}{e}_1(X_1,X_2,X_3,X_4)& =X_1+X_2+X_3+X_4,\\ e_2(X_1,X_2,X_3,X_4)& =X_1{X}_2+X_1{X}_3+X_1{X}_4+X_2{X}_3+X_2{X}_4+X_3{X}_4,\\ e_3(X_1,X_2,X_3,X_4)& =X_1{X}_2{X}_3+X_1{X}_2{X}_4+X_1{X}_3{X}_4+X_2{X}_3{X}_4,\\ e_4(X_1,X_2,X_3,X_4)& =X_1{X}_2{X}_3{X}_4.\\ \end{array}$

Propiedades

Os polinomios simétricos elementais aparecen cando expandimos unha factorización linear dun polinomio mónico: temos a identidade

$\prod _{j=1}^n(\lambda -X_j)={\lambda }^n-e_1(X_1,\dots ,X_n){\lambda }^{n-1}+e_2(X_1,\dots ,X_n){\lambda }^{n-2}+\cdots +(-1{)}^n{e}_n(X_1,\dots ,X_n).$

É dicir, cando substituímos valores numéricos polas variábeis Modelo:Math , obtemos o polinomio mónico univariado (con variábel Modelo:Math) cuxas raíces son os valores substituídos por Modelo:Math e cuxos coeficientes son, ata o seu signo, os polinomios simétricos elementais. Estas relacións entre as raíces e os coeficientes dun polinomio chámanse fórmulas de Viète.

O polinomio característico dunha matriz cadrada é un exemplo de aplicación das fórmulas de Vieta. As raíces deste polinomio son os eigenvalores da matriz. Cando substituímos estes eigenvalores nos polinomios simétricos elementais, obtemos, ata o seu signo, os coeficientes do polinomio característico, que son invariantes da matriz. En particular, a traza (a suma dos elementos da diagonal) é o valor de Modelo:Math e, polo tanto, a suma dos eigenvalores. Do mesmo xeito, o determinante é, ata o signo, o termo constante do polinomio característico, é dicir, o valor de Modelo:Math. Así, o determinante dunha matriz cadrada é o produto dos eigenvalores.

O conxunto de polinomios simétricos elementais en Modelo:Math variábeis xera o anel de polinomios simétricos en Modelo:Math variábeis. Máis concretamente, o anel de polinomios simétricos con coeficientes enteiros é igual ao anel polinómico de enteiros Modelo:Math. (Consulte a continuación para unha definición máis xenérica.) Este feito é un dos fundamentos da teoría dos invariantes. Para outro sistema de polinomios simétricos coa mesma propiedade consulte Polinomios simétricos homoxéneos completos, e para un sistema cunha propiedade similar, pero lixeiramente máis débil, consulte Polinomio simétrico de suma de potencias.

Teorema fundamental dos polinomios simétricos

Para calquera anel conmutativo Modelo:Math, denote o anel de polinomios simétricos nas variábeis Modelo:Math con coeficientes en Modelo:Math como Modelo:Math . Este é un anel polinómico nos n polinomios elementais simétricos Modelo:Math para Modelo:Math.

Isto significa que todo polinomio simétrico Modelo:Math ten unha representación única

$P(X_1,\dots ,X_n)=Q(e_1(X_1,\dots ,X_n),\dots ,e_n(X_1,\dots ,X_n))$

para algún polinomio Modelo:Math. Outra forma de dicir o mesmo é que o homomorfismo de aneis que envía Modelo:Math a Modelo:Math para Modelo:Math define un isomorfismo entre Modelo:Math e Modelo:Math.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Anel polinómico.
• Función simétrica.
• Desigualdade de Maclaurin.

Ligazóns externas

• Modelo:Cite web

Modelo:Control de autoridades