Involución (matemáticas)
En matemáticas, unha función de involución ou función autoinversa [1] é unha función Modelo:Mvar que é a súa propia inversa,
para todo Modelo:Mvar no dominio de Modelo:Math . De forma equivalente, aplicar Modelo:Mvar dúas veces produce o valor orixinal.
Propiedades xerais
Calquera involución é unha bixección.
O mapa identidade é un exemplo trivial de involución. Exemplos de involucións non triviais inclúen a negación ( Modelo:Math ), a reciprocidade ( Modelo:Math ) e a conxugación complexa ( Modelo:Math ) en aritmética; reflexión, rotación de media volta e inversión en relación a unha circunferencia en xeometría; complementación na teoría de conxuntos.
A composición Modelo:Math de dúas involucións Modelo:Math e Modelo:Math é unha involución se e só se conmutan: Modelo:Math.
Involución nos distintos campos das matemáticas
Funcións con valores reais
A gráfica dunha involución (sobre os números reais) é simétrica a través da recta Modelo:Math.
Algúns exemplos básicos de involucións inclúen as funcións
A maiores, podemos construír unha involución envolvendo unha involución Modelo:Mvar nunha bixección Modelo:Mvar e a súa inversa ( ). Por exemplo:
Xeometría euclidiana
Un exemplo sinxelo de involución do espazo euclidiano tridimensional é a reflexión a través dun plano. Realizar unha reflexión dúas veces trae un punto ás súas coordenadas orixinais.
Xeometría proxectiva
Unha involución é unha proxectividade de período 2, é dicir, unha proxectividade que troca pares de puntos. Modelo:Rp
Álxebra linear
En álxebra linear, unha involución é un operador linear Modelo:Math nun espazo vectorial, tal que Modelo:Math. Agás na característica 2, eses operadores son diagonalizábeis para unha base dada con só Modelo:Maths e Modelo:Maths na diagonal da matriz correspondente. Se o operador é ortogonal (unha involución ortogonal), é diagonalizábel ortonormalmente.
Por exemplo, supoña que se escolle unha base para un espazo vectorial Modelo:Math e que Modelo:Math e Modelo:Math son elementos de base. Existe unha transformación linear Modelo:Math que envía Modelo:Math a Modelo:Math, e envía Modelo:Math a Modelo:Math, e esa é a identidade en todos os demais vectores da base. Pódese comprobar que Modelo:Math para todo Modelo:Math en Modelo:Math. É dicir, Modelo:Math é unha involución de Modelo:Math.
Teoría dos aneis
Na teoría de aneis, a palabra involución adoita tomarse para significar un antihomomorfismo que é a súa propia función inversa. Exemplos de involucións en aneis comúns:
- conxugación complexa no plano complexo, e o seu equivalente nos números complexos hiperbólicos.
- a transposta nun anel de matrices.
Teoría de grupos
Unha permutación é unha involución se e só se pode escribirse como un produto finito de transposicións disxuntas.
As involucións dun grupo teñen un gran impacto na estrutura do grupo. O estudo das involucións foi fundamental na clasificación de grupos finitos simples.
Os grupos de Coxeter son grupos xerados por un conxunto Modelo:Math de involucións suxeitos só a relacións que implican potencias de pares de elementos de Modelo:Math. Os grupos de Coxeter pódense utilizar, entre outras cousas, para describir os posíbeis poliedros regulares e as súas xeneralizacións a dimensións superiores.
Lóxica matemática
A operación do complemento nas álxebras booleanas é unha involución. En consecuencia, a negación na lóxica clásica cumpre a lei da dobre negación: Modelo:Math equivale a Modelo:Math.
Informática
A operación XOR bit a bit cun valor dado para un parámetro é unha involución do outro parámetro. Nalgúns casos, as máscaras XOR usáronse para debuxar gráficos en imaxes de tal xeito que debuxándoos dúas veces no fondo volva o fondo ao seu estado orixinal.
Física
A transformación de Legendre, que converte entre o Lagrangiano e o Hamiltoniano, é unha operación involutiva.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos
- ↑ Robert Alexander Adams, Calculus: Single Variable, 2006, Modelo:ISBN, p. 165