Reflexión (matemáticas)

A composición de dúas reflexións do plano de eixes paralelos é unha translación.

A composición de dúas reflexións do plano de eixes concorrentes é unha rotación plana arredor do punto de intersección dos eixes.

En matemáticas, unha reflexión ou simetría axial do plano euclidiano é unha simetría ortogonal con respecto a unha recta (recta vectorial se é un plano vectorial euclidiano). Constitúe logo unha simetría axial ortogonal.

As reflexións, como todas as simetrías, son transformacións involutiva.

Unha reflexión é un antidesprazamento (ou isometría negativa).

Exemplos

Nun plano vectorial euclidiano cunha base ortonormal,

• A reflexión en relación co eixe de $x$ é a aplicación

$(x,y)\mapsto (x,-y)$ ;

• reflexión relativa ao eixe $y=x$ é a aplicación

$(x,y)\mapsto (y,x)$ ;

Propiedades xerais

As reflexións vectoriais dun espazo euclidiano pódense expresar mediante un vector $k\ne 0$ normal ao hiperplano de reflexión:

$s(x)=x-2\frac{⟨x,k⟩}{\Vert k{\Vert }^2}k$

Estas son isometrías vectoriais co determinante -1. Conservan o produto escalar mais transforman calquera base ortonormal nunha base ortonormal de orientación oposta. Recoñecemos na reflexión a expresión da proxección ortogonal sobre a recta xerada por k: $s=\mathrm{I}\mathrm{d}-2p_k$; a reflexión é polo tanto tamén un endomorfismo autoadxunto.

Segundo o teorema de Cartan–Dieudonné, as reflexións xeran o grupo ortogonal. Máis precisamente, na dimensión n, calquera isometría vectorial é produto de como máximo n reflexións .

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Simetría axial
• Simetría