Norma (matemáticas)

Unha bóla centrada na orixe de ${ℝ}^2$ relativa a tres normas distintas.

Nas Matemáticas, unha norma consiste nunha función que a cada elemento dun espazo vectorial lle asocia un número real non-negativo. O concepto de norma está relacionado intuitivamente coa noción xeométrica de lonxitude.

Definición

Dado un espazo vectorial $X$ sobre o corpo $𝕂$ dos números reais ou complexos, unha función $\Vert \cdot \Vert :X\to {ℝ}^{+}$ é chamada de norma se, para calquera $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in X$ e todo $\alpha \in 𝕂$:

• $\Vert \overrightarrow{x}\Vert =0\Rightarrow \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$. Se esta condición non for atendida, a función será como máximo unha seminorma.
• $\Vert \alpha \overrightarrow{x}\Vert =|\alpha |\Vert \overrightarrow{x}\Vert$
• $\Vert \overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\Vert \le \Vert \overrightarrow{x}\Vert +\Vert \overrightarrow{y}\Vert$ (desigualdade triangular)

Se o espazo vectorial $X$ ten unha norma, pasa a coñecerse como espazo normado, e denótase por $(X,\Vert \cdot \Vert )$.

Métrica e topoloxía inducida

Toda norma induce de forma natural unha métrica $d$ en $X$ que ten valores dados por:

$d(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=\Vert \overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}\Vert .$

Tamén induce unha topoloxía localmente convexa que é xerada por todas as bólas:

$B({\overrightarrow{x}}_0,r)=\{\overrightarrow{x}\in X:\Vert \overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0\Vert <r\},\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in X,\mathrm{\forall }r\in {ℝ}_{\mathbb{+}}$

Normas equivalentes

Dúas normas $\Vert .{\Vert }_1$ e $\Vert .{\Vert }_2$ sobre o mesmo espazo vectorial $X$ chámanse equivalentes se existiren constantes reais positivas $C_1$ e $C_2(C_1\le C_2)$ tales que:

$C_1\Vert \overrightarrow{x}{\Vert }_1\le \Vert \overrightarrow{x}{\Vert }_2\le C_2\Vert \overrightarrow{x}{\Vert }_1\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in X$

Cando dúas normas son equivalentes, inducen a mesma topoloxía.

Normas en espazos de dimensión finita

Sexa $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n{x}_i{\overrightarrow{e}}_i$ a representación dun vector en ${ℝ}^n$ ou ${ℂ}^n$.

As normas canónicas definidas nestes espazos son as chamadas normas ${\ell }^p$:

• $\Vert \overrightarrow{x}{\Vert }_p={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{1/p},1\le p<\mathrm{\infty }$
• $\Vert \overrightarrow{x}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}={\max }_{i=1}^n(|x_i|)$

O caso particular no que $p=2$ corresponde á norma euclidiana:

${(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^2)}^{1/2}=\Vert \overrightarrow{x}{\Vert }_2=\sqrt{|x_1{|}^2+\dots +|x_n{|}^2}$

A norma euclidiana é a que mide a distancia entre dous puntos do plano usada habitualmente $\Vert \overrightarrow{x}\Vert =\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$.

Pódense definir tamén outras normas, mais pódese demostrar que serán equivalentes.

Norma matricial

Se o espazo vectorial considerado é o formado polas matrices reais ou complexas de orde $n\times m$, denotado por $M^{n\times m}$, unha norma sobre ese espazo é chamada de norma matricial.

Un exemplo de norma matricial é a norma 1, denotada $\Vert .{\Vert }_1$ definida como o máximo da suma módulo dos elementos de cada liña, ou sexa se $A={\left[a_{ij}\right]}_{r\times s}$ entón a norma do máximo da matriz $A$ é o número non negativo dado por

$\Vert A{\Vert }_1=\underset{1\le i\le r}{\max }\sum _{j=1}^s|a_{ij}|.$

A norma do máximo da matriz $A=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& -1\end{array}\right|$, por exemplo, é

$\Vert A{\Vert }_1=\max \{|1|+|3|,|2|+|-1|\}=\max \{4,3\}=4.$

Normas en espazos de dimensión infinita

Espazos L^P

Modelo:AP As normas ${\ell }^p$ teñen análogos nalgúns espazos de dimensión infinita.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Produto interno
• Espazo de Banach
• Espazo euclidiano
• Espazo métrico
• Espazo topolóxico
• Seminorma