Idempotente (teoría dos aneis)

Na teoría de aneis, unha rama das matemáticas, un elemento idempotente ou simplemente idempotente dun anel é un elemento Modelo:Math tal que Modelo:Math.Modelo:Sfn Modelo:Efn É dicir, o elemento é idempotente baixo a multiplicación do anel. Daquela, de xeito indutivo, tamén se pode concluír que Modelo:Math Modelo:Math para calquera número enteiro positivo Modelo:Math. Por exemplo, un elemento idempotente dun anel de matrices é precisamente unha matriz idempotente.

Exemplos

Cocientes de Z

Pódese considerar o [[Aritmética modular|anel de enteiros módulo Modelo:Math]], onde Modelo:Math é libre de cadrados. Segundo o teorema chinés do resto, este anel factoriza no produto de aneis de enteiros módulo Modelo:Math, onde Modelo:Math é primo. Agora cada un destes factores é un corpo, polo que está claro que os únicos factores idempotentes serán Modelo:Math e Modelo:Math. É dicir, cada factor ten dous idempotentes. Entón, se hai Modelo:Math factores, haberá Modelo:Math idempotentes.

Podemos comprobar isto para os enteiros Modelo:Math Modelo:Math, Modelo:Math. Como Modelo:Math ten dous factores primos (Modelo:Math e Modelo:Math) debería ter Modelo:Math idempotentes.

Modelo:Math

Modelo:Math

Modelo:Math

Modelo:Math

Modelo:Math

Modelo:Math

A partir destes cálculos, Modelo:Math, Modelo:Math, Modelo:Math e Modelo:Math son idempotentes deste anel, mentres que Modelo:Math e Modelo:Math non o son. Isto tamén demostra as propiedades de descomposición descritas a continuación: a causa de que Modelo:Math, hai unha descomposición do anel Modelo:Math. En Modelo:Math a identidade multiplicativa é Modelo:Math e en Modelo:Math a identidade multiplicativa é Modelo:Math .

Cociente de anel polinómico

Dado un anel Modelo:Math e un elemento Modelo:Math tal que Modelo:Math, o anel cociente

Modelo:Math

ten o idempotente Modelo:Math. Por exemplo, isto podería aplicarse a Modelo:Math, ou a calquera polinomio Modelo:Math .

Idempotentes no anel dos cuaternións divididos

Hai unha circunferencia de idempotentes no anel dos cuaternións divididos. Os cuaternións divididos teñen a estrutura dunha álxebra real, polo que os elementos poden escribirse w + x i + y j + z k sobre unha base {1, i, j, k}, con j ² = k ² = +1. Para calquera θ ,

$s=j\cos \theta +k\sin \theta$ cumpre s ² = +1 xa que j e k satisfán a propiedade anticomutativa. Agora

$(\frac{1+s}{2}{)}^2=\frac{1+2s+s^2}{4}=\frac{1+s}{2},$ a propiedade idempotente.

O elemento s chámase unidade hiperbólica e a coordenada i tomouse como cero. Cando esta coordenada é distinta de cero, entón hai un hiperboloide dunha folla de unidades hiperbólicas en cuaternións divididos.

Tipos de aneis idempotentes

Unha lista parcial de tipos importantes de idempotentes inclúe:

• Dous idempotentes Modelo:Math e Modelo:Math chámanse ortogonais se Modelo:Math. Se Modelo:Math é idempotente no anel Modelo:Math (con unidade), entón tamén o é Modelo:Math ; a maiores, Modelo:Math e Modelo:Math son ortogonais.
• Un idempotente Modelo:Math en Modelo:Math chámase idempotente central se Modelo:Math para todo Modelo:Math en Modelo:Math, é dicir, se Modelo:Math está no centro de Modelo:Math.
• Un idempotente trivial refírese a calquera dos elementos Modelo:Math e Modelo:Math, que sempre son idempotentes.
• Un idempotente primitivo dun anel Modelo:Math é un idempotente distinto de cero Modelo:Math tal que Modelo:Math é indescompoñíbel como un módulo Modelo:Math pola dereita; é dicir, tal que Modelo:Math non é unha suma directa de dous submódulos distintos de cero. De forma equivalente, Modelo:Math é un idempotente primitivo se non se pode escribir como Modelo:Math, onde Modelo:Math e Modelo:Math son idempotentes ortogonais distintos de cero en Modelo:Math.
• Un idempotente local é un idempotente Modelo:Math tal que Modelo:Math é un anel local. Isto implica que Modelo:Math é directamente indescompoñíbel, polo que os idempotentes locais tamén son primitivos.
• Un idempotente irredutíbel pola dereita é un idempotente Modelo:Math para o cal Modelo:Math é un módulo simple. Segundo o lema de Schur, Modelo:Math é un anel de división e, polo tanto, é un anel local, polo que os idempotentes irredutíbeis pola dereita e pola esquerda son locais.
• Un idempotente centralmente primitivo é un idempotente central Modelo:Math que non se pode escribir como a suma de dous idempotentes centrais ortogonais distintos de cero.
• Un idempotente Modelo:Math no anel cociente Modelo:Math dise que se eleva módulo Modelo:Math se hai un idempotente Modelo:Math en Modelo:Math tal que Modelo:Math .
• Un idempotente Modelo:Math de Modelo:Math chámase idempotente completo se Modelo:Math.
• Para separabilidade idempotente ver Álxebra separábel.

Calquera idempotente Modelo:Math non trivial é un divisor de cero (porque Modelo:Math sen que nin Modelo:Math nin Modelo:Math sexan cero, onde Modelo:Math). Isto mostra que dominios de integridade e os aneis de división non teñeneses idempotentes. Os aneis locais tampouco non teñen eses idempotentes, mais por un motivo diferente. O único idempotente contido no radical de Jacobson dun anel é Modelo:Math.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• idempotent at FOLDOC
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Lang Algebra
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Idempotencia.
• Unipotente
• Nilpotente