Función indicadora

Un gráfico tridimensional dunha función indicadora, mostrado sobre un dominio cadrado bidimensional (conxunto Modelo:Mvar): a parte "erguida" mostra os puntos bidimensionais que son membros do subconxunto "indicado" (Modelo:Mvar).

En matemáticas, unha función indicadora ou función característica dun subconxunto dun conxunto é unha función que asigna o valor 1 aos elementos do subconxunto e o valor 0 ao resto de elementos. É dicir, se Modelo:Mvar é un subconxunto dalgún conxunto Modelo:Mvar, entón ${\mathrm{𝟏}}_A(x)=1$ se $x\in A,$ e ${\mathrm{𝟏}}_A(x)=0$ se $x\notin A$. A notación ${\mathrm{𝟏}}_A$ é común para a función indicadora. Outras notacións comúns son $I_A,$ e ${\chi }_A.$

A función indicadora de Modelo:Mvar tamén a podemos representar mediante o corchete de Iverson da propiedade de pertencer a Modelo:Mvar; é dicir,

$${\mathrm{𝟏}}_A(x)=[x\in A].$$

Por exemplo, a función de Dirichlet é a función indicadora dos números racionais como subconxunto dos números reais.

Definición

A función indicadora dun subconxunto Modelo:Mvar dun conxunto Modelo:Mvar é unha función

$${\mathrm{𝟏}}_A:X\to \{0,1\}$$

definida como

Fallou a conversión do código (Erro de conversión. O servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") indicou: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ if }}~x\in A~,\\0~&{\text{ if }}~x\notin A~.\end{cases}}}

O corchete de Iverson proporciona outra notación equivalente, $[x\in A]$ en lugar de ${\mathrm{𝟏}}_A(x).$

A función ${\mathrm{𝟏}}_A$ ás veces denótase Modelo:Mvar, Modelo:Mvar, Modelo:Mvar. Modelo:EfnModelo:Efn

Propiedades básicas

A función indicador dun subconxunto Modelo:Mvar dalgún conxunto Modelo:Mvar asigna elementos de Modelo:Mvar no rango $\{0,1\}$.

Este mapa é sobrexectivo só cando Modelo:Mvar é un subconxunto propio non baleiro de Modelo:Mvar. Se $A\equiv X,$ entón ${\mathrm{𝟏}}_A=1.$ Por un argumento semellante, se $A\equiv \mathrm{\varnothing }$ entón ${\mathrm{𝟏}}_A=0.$

Se $A$ e $B$ son dous subconxuntos de $X,$ daquela$$\begin{array}{cc}{\mathrm{𝟏}}_{A\cap B}& =\min \{{\mathrm{𝟏}}_A,{\mathrm{𝟏}}_B\}={\mathrm{𝟏}}_A\cdot {\mathrm{𝟏}}_B,\\ {\mathrm{𝟏}}_{A\cup B}& =\max \{{\mathrm{𝟏}}_A,{\mathrm{𝟏}}_B\}={\mathrm{𝟏}}_A+{\mathrm{𝟏}}_B-{\mathrm{𝟏}}_A\cdot {\mathrm{𝟏}}_B,\end{array}$$

e a función indicadora do complemento de $A$ é dicir $A^C$ é: $${\mathrm{𝟏}}_{A^{\complement }}=1-{\mathrm{𝟏}}_A.$$

De xeito máis xeral, supoña que $A_1,\dots ,A_n$ son unha colección de subconxuntos de Modelo:Mvar. Para calquera $x\in X:$

$$\prod _{k\in I}(1-{\mathrm{𝟏}}_{A_k}(x))$$

é claramente un produto de Modelo:Maths e Modelo:Maths. Este produto ten o valor 1 precisamente neses $x\in X$ que non pertencen a ningún dos conxuntos $A_k$ e é 0 en caso contrario. É dicir

$$\prod _{k\in I}(1-{\mathrm{𝟏}}_{A_k})={\mathrm{𝟏}}_{X-\bigcup _k{A}_k}=1-{\mathrm{𝟏}}_{\bigcup _k{A}_k}.$$

Expandendo o produto no lado esquerdo,

$${\mathrm{𝟏}}_{\bigcup _k{A}_k}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}(-1{)}^{|F|}{\mathrm{𝟏}}_{\bigcap _F{A}_k}=\sum _{\mathrm{\varnothing }\ne F\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}(-1{)}^{|F|+1}{\mathrm{𝟏}}_{\bigcap _F{A}_k}$$

onde $|F|$ é a cardinalidade de Modelo:Mvar. Esta é unha das formas do principio de inclusión-exclusión.

A función indicadoar é unha notación útil en combinatoria. A notación úsase tamén por exemplo na teoría da probabilidade: se Modelo:Mvar é un espazo de probabilidade con medida de probabilidade $\mathrm{P}$ e Modelo:Mvar é un conxunto medible, entón ${\mathrm{𝟏}}_A$ convértese nunha variable aleatoria cuxo valor esperado é igual á probabilidade de Modelo:Mvar:

$$\mathrm{E}({\mathrm{𝟏}}_A)=\underset{X}{\int }{\mathrm{𝟏}}_A(x)d\mathrm{P}=\underset{A}{\int }d\mathrm{P}=\mathrm{P}(A).$$

Esta identidade úsase nunha proba simple da desigualdade de Markov.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita publicación periódica

Outros artigos

• Función paso de Heaviside
• Corchete de Iverson
• Delta de Kronecker

Modelo:Control de autoridades