Medida (matemáticas)

En matemáticas, o concepto de medida é a xeneralización e formalización das medidas xeométricas e outras nocións como a probabilidade dos sucesos aleatorios. A medida é un concepto fundamental en teoría da medida e teoría da probabilidade.

Definición

Sexa $X$ un conxunto e $\mathrm{\Sigma }$ unha $\sigma$-álxebra de conxuntos de $X$. Dada unha aplicación $\mu :\mathrm{\Sigma }\to [0,\mathrm{\infty }]$ (ver: recta real estendida), diremos que é unha medida en $\mathrm{\Sigma }$ se satisfai as seguintes propiedades:

• $\mu (\mathrm{\varnothing })=0.$
• Dado un conxunto numerable $\{E_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathrm{\Sigma }$ con elementos disxuntos dous a dous, isto é, con $E_i\cap E_j=\mathrm{\varnothing }$ para $i\ne j$, entón a medida da unión coincide coa suma das medidas, é dicir, $\mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{E}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (E_n).$

Chamamos espazo de medida á terna $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$.

Propiedades das medidas

Dado un espazo de medida $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ temos que

• Dados $E,F\in \mathrm{\Sigma }$ con $E\subset F$, temos que a medida respeta a orde de contidos, isto é, $\mu (E)\le \mu (F)$. Se, ademais, $\mu (E)<+\mathrm{\infty }$, temos que $\mu (F\setminus E)=\mu (F)-\mu (E)$.
• Dados $E,F\in \mathrm{\Sigma }$, temos que $\mu (E\cup F)\le \mu (E)+\mu (F)$.
• Dada $\{E_k{\}}_{k=1}^n\subset \mathrm{\Sigma }$ unha colección finita de conxuntos, temos que $\mu \left(\bigcup _{k=1}^n{E}_k\right)\le \sum _{k=1}^n\mu \left(E_k\right)$ (Subaditividade finita).
• Dada $\{E_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathrm{\Sigma }$ unha colección numerable de conxuntos non necesariamente disxuntos, temos que $\mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{E}_n\right)\le \sum _{n\in \mathbb{N}}\mu \left(E_n\right)$ (Subaditividade numerable).

Exemplos de medidas

• Se $X=\mathbb{N}$ e consideramos a $\sigma$-álxebra $\mathrm{\Sigma }=𝒫(X)$, podemos definir a medida dun conxunto $E\subset \mathbb{N}$ como o cardinal deste conxunto $\mu (E)=|E|$, isto é, o número de elementos de $E$ se este é finito ou infinito en caso contrario.
• Chamamos medida exterior dun subconxunto $E\subset {ℝ}^N$ como$m^{*}(E)=\inf \{\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\text{long}(I_k):E\subset \bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_k,\text{con }{I}_k\text{ cela de }{ℝ}^N\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}\}.$
• A esta medida chamámola medida de Lebesgue en ${ℝ}^N$cando a definimos sobre o espazo medible $({ℝ}^N,ℒ)$, onde $ℒ$ é a $\sigma$-álxebra de Lebesgue.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Función medible
• Espazo medíbel
• Espazo de medida
• Teoría da probabilidade

Ligazóns externas

• Mathworld: Medida.