Ecuación de Laplace

Pierre-Simon Laplace

En cálculo vectorial, a ecuación de Laplace é unha ecuación en derivadas parciais de segunda orde de tipo elíptico, que recibe ese nome en honra ao físico e matemático Pierre-Simon Laplace.

Introducida polas necesidades da mecánica newtoniana, a ecuación de Laplace aparece en moitas outras ramas da física teórica como a astronomía, a electrostática, a mecánica de fluídos ou a mecánica cuántica.

Definición

${\displaystyle }$En tres dimensións, o problema consiste en atopar funcións reais $u$, dobremente diferenciables, de variables reais $(x,y,z)$, tal que:

• En coordenadas cartesianas,

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0.$

• En coordenadas cilíndricas $(\rho ,\phi ,z)$,

$\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial u}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0$

• En coordenadas esféricas $(r,\theta ,\varphi )$,

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\phi }^2}=0$

Moitas veces escríbese da seguinte maneira:

${\mathrm{\nabla }}^{2}u=0$

onde ${\mathrm{\nabla }}^2$ é o operador de Laplace ou laplaciano.

Esta ecuación en derivadas parciais, tamén se pode escribir como

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }u=0,$

onde $\mathrm{\nabla }\cdot$ é a diverxencia, e $\mathrm{\nabla }$ é o gradiente.

Ou senón, algunhas veces a notación pode ser:

$\mathrm{\Delta }u=0,$

onde $\mathrm{\Delta }$ tamén é o operador de Laplace.

As solucións da ecuación de Laplace denomínanse funcións harmónicas.

Se ao lado dereito da igualdade se especifica unha función, $f(x,y,z)$, é dicir, se a ecuación se escribe como:

$\mathrm{\Delta }u=f$

entón tense a ecuación de Poisson, polo que a ecuación de Laplace é un caso particular desta. A ecuación de Laplace tamén é un caso particular da ecuación de Helmholtz.

A ecuación de Laplace, así como a ecuación de Poisson, son os exemplos máis simples de ecuacións en derivadas parciais elípticas.

Condicións de fronteira

Ecuación de Laplace sobre unha coroa (r=2 e R=4) con condicións de fronteira de Dirichlet: u(r=2)=0 e u(r=4)=4sen(5·θ)

Problema de Dirichlet

O problema de Dirichlet para a ecuación de Laplace consiste en atopar unha solución $u$ nalgún dominio $D$ tal que $u$ sobre o seu fronteira $\partial D$ é igual a unha función determinada:

$\{\begin{array}{cc}\mathrm{△}u=0,& x\in D\\ u=g,& x\in \partial D\end{array}$

Como o operador de Laplace aparece na ecuación da calor, unha interpretación física deste problema é o seguinte: fixar a temperatura sobre a fronteira do dominio de acordo a unha especificación determinada da condición de fronteira. A temperatura flúe ata que alcanza un estado estacionario no que dita temperatura en cada punto do dominio non cambia máis. A distribución da temperatura no interior será entón a solución correspondente ao problema de Dirichlet.

Problema de Neumann

As condicións de fronteira de Neumann para a ecuación de Laplace non especifica a función $u$ en si mesma sobre a fronteira $\partial D$, pero si a súa derivada normal. Fisicamente, isto corresponde á construción dun potencial para un campo vectorial cun efecto coñecido na fronteira de $D$:

$\{\begin{array}{cc}\mathrm{△}u=0,& x\in D\\ \frac{\partial u}{\partial \eta }=g,& x\in \partial D\end{array}$

As solucións da ecuación de Laplace son funcións harmónicas; son todas analíticas dentro do dominio onde a ecuación se satisfai. Se calquera de dúas funcións son solucións á ecuación de Laplace (ou de calquera ecuación diferencial homoxénea), a súa suma (ou calquera combinación linear) é tamén unha solución. Esta propiedade, chamada principio de superposición, é moi útil, por exemplo, as solucións de problemas complexos poden construírse simplemente sumando as solucións determinadas e variables.

Ecuación de Laplace en dúas dimensións

A ecuación de Laplace en dúas variables independentes:

${\phi }_{xx}+{\phi }_{yy}=0.$

Funcións analíticas

As partes reais e imaxinarias dunha función analítica nos complexos satisfán a ecuación de Laplace. É dicir, se $z=x+iy$, e se

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$

entón a condición necesaria para que $f(z)$ sexa analítica é que se satisfagan as ecuacións de Cauchy-Riemann:

$u_x=v_y,v_x=-u_y.$

onde $u_x$ é a primeira derivada parcial de $u$ con respecto a $x$.

Entón

$u_{yy}=(-v_x{)}_y=-(v_y{)}_x=-(u_x{)}_x.$

Por tanto $u$ satisfai a ecuación de Laplace. Un cálculo similar demostra que $v$ tamén satisfai a ecuación de Laplace.

Á inversa, dada unha función harmónica, é a parte real dunha función analítica, $f(z)$ (polo menos localmente). Unha forma de probalo é:

$f(z)=\phi (x,y)+i\psi (x,y),$

entón as ecuacións de Cauchy-Riemann satisfanse:

${\psi }_x=-{\phi }_y,{\psi }_y={\phi }_x.$

Esta relación non determina $\psi$, só os seus incrementos:

$d\psi =-{\phi }_{y}dx+{\phi }_{x}dy.$

A ecuación de Laplace para $\phi$ implica que a condición de integrabilidade para $\psi$ se satisfai:

${\psi }_{xy}={\psi }_{yx},$

e así $\psi$ pode definirse cunha integral de liña. A condición de integrabilidade e o teorema de Stokes implica que o valor da integral de liña que conecta dous puntos é independente do camiño. O par de solucións resultante da ecuación de Laplace denomínanse funcións harmónicas conxugadas. Esta construción só é válida localmente, ou sempre que o camiño non estea a rodear unha singularidade. Por exemplo, se $r$ e $\theta$ son coordenadas polares e

$\phi =\log r,$

entón unha función analítica correspondente é

$f(z)=\log z=\log r+i\theta .$

Con todo, o ángulo $\phi$ é univaluado só nunha rexión que non inclúe a orixe.

A estreita relación entre a ecuación de Laplace e as funcións analíticas establece que calquera solución da ecuación de Laplace ten derivadas en todas as ordes, e pode expandirse en series de potencias, polo menos dentro dun círculo que non inclúa unha singularidade. Isto está en contraste coas solucións da ecuación de onda, que polo xeral ten menor regularidade.

Hai unha íntima conexión entre as series de potencias e as series de Fourier. Se se expande unha función $f$ en series de potencias dentro dun círculo de raio $R$, isto significa que

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n,$

con coeficientes definidos adecuadamente con partes reais e imaxinarias dadas por:

$c_n=a_n+i{b}_n.$

Entón

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[a_n{r}^n\cos n\theta -b_n{r}^n\sin n\theta ]+i\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n{r}^n\sin n\theta +b_n{r}^n\cos n\theta ],$

a cal é unha serie de Fourier de $f$.

Fluxo de fluído

Sexan as cantidades $u$ e $u$ as compoñentes horizontal e vertical do campo de velocidade do fluxo incompresible estacionario e irrotacional en dúas dimensións, respectivamente. A condición de que o fluxo sexa incompresible é que

$u_x+v_y=0,$

e a condición de que o fluxo sexa irrotacional é que

$\mathrm{\nabla }\times 𝐕=v_x-u_y=0.$

Se se define o diferencial de $\psi$ como

$d\psi =vdx-udy,$

entón a condición de incompresibilidade é a de integrabilidade para este diferencial: a función resultante chámase función de corrente porque é constante ao longo das liñas de fluxo. As primeiras derivadas de $\psi$ son

${\psi }_x=v,{\psi }_y=-u,$

e a condición de irrotacionalidade establece que $\psi$ satisfai a ecuación de Laplace. A función harmónica $\phi$, que é o conxugado de $\psi$, denomínase potencial de velocidade. As ecuacións de Cauchy-Riemann establecen que

${\phi }_x=-u,{\phi }_y=-v.$

Así que, a cada función analítica correspóndelle un fluxo de fluído incompresible estacionario e irrotacional no plano. A parte real é o potencial de velocidade, e a parte imaxinaria é a función de corrente.

Electrostática

De acordo ás ecuacións de Maxwell, un campo eléctrico (u,v) nun espazo de dúas dimensións que é independente do tempo satisfai

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }\times (u,v)=v_x-u_y=0,\\ \mathrm{\nabla }\cdot (u,v)=\rho ,\end{array}$

onde $\rho$ é a densidade de carga. A primeira ecuación de Maxwell é a condición de integrabilidade para o diferencial

$d\phi =-udx-vdy,$

así que o potencial eléctrico $\phi$ pode construírse para satisfacer

${\phi }_x=-u,{\phi }_y=-v.$

A segunda ecuación de Maxwell establece que

${\phi }_{xx}+{\phi }_{yy}=-\rho ,$

coñecida como ecuación de Poisson.

É importante observar que a ecuación de Laplace pode empregarse en problemas de tres dimensións en electroestática e fluxo de fluído así como en dúas dimensións.

Ecuación de Laplace en tres dimensións

Solución fundamental

Unha solución fundamental da ecuación de Laplace satisfai:

$\mathrm{\Delta }u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=-\delta (x-x^{\prime },y-y^{\prime },z-z^{\prime }),$

onde a función delta de Dirac $\delta$ é unha fonte unitaria concentrada nun punto $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$.

Non é unha función en si, con todo pode pensarse como o límite de funcións cuxa integral sobre todo o espazo é unitaria, e cuxa rexión onde a función é distinta de cero é só nun punto. É común escoller unha convención de signos diferente para esta ecuación, isto faise cando se define a solución fundamental. Frecuentemente a escolla deste signo é conveniente para traballar cun $-\mathrm{\Delta }$ que é un operador positivo. Así a definición da solución fundamental implica que, se o laplaciano de $u$ se integra sobre calquera volume que encerra o punto da fonte, entón

$\underset{V}{\iiint }\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }udV=-1.$

A ecuación de Laplace non cambia baixo un cambio de coordenadas, e entón pódese esperar que a solución fundamental se pode obter entre solucións que dependen só da distancia $r$ do punto da fonte. De escoller o volume dunha bóla de raio $a$ arredor do punto da fonte, entón polo teorema da diverxencia de Gauss:

$-1=\underset{V}{\iiint }\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }udV=\underset{S}{\iint }{u}_{r}dS=4\pi a^2{u}_r(a).$

Entón

$u_r=-\frac{1}{4\pi r^2},$

sobre unha esfera de raio $r$ que ten como centro o punto da fonte e polo tanto

$u=\frac{1}{4\pi r}.$

Un argumento similar mostra que en dúas dimensións:

$u=-\frac{1}{2\pi }\log r.$

Función de Green

Unha función de Green é unha solución fundamental que tamén satisfai unha condición adecuada na fronteira $S$ dun volume $v$.${\displaystyle }$ Por exemplo, $G(x,y,z;x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ satisfai

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }G=-\delta (x-x^{\prime },y-y^{\prime },z-z^{\prime })\text{en}V,\\ G=0\text{si}(x,y,z)\text{en}S.\end{array}$

Agora se $u$ é calquera solución da ecuación de Poisson en $v$:

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }u=-f,$

e $u$ toma valores de fronteira $g$ sobre $S$, entón pódese aplicar a identidade de Green, unha consecuencia do teorema da diverxencia, o cal satisfai

$\underset{V}{\iiint }[G\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }u-u\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }G]dV=\underset{V}{\iiint }\mathrm{\nabla }\cdot [G\mathrm{\nabla }u-u\mathrm{\nabla }G]dV=\underset{S}{\iint }[G{u}_n-u{G}_n]dS.$

As notacións $u_n$ e $G_n$ refírense a derivadas normais a $S$. En vista de que as condicións satisfán $u$ e $G$, este resultado simplifica

$u(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=\underset{V}{\iiint }GfdV+\underset{S}{\iint }{G}_{n}gdS.$

Así a función de Green describe a influencia de $f$ e $g$ en $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$. Para o caso do interior dunha esfera de raio $a$, a función de Green pode obterse por medio da reflexión: o punto da fonte $P$ a distancia $\rho$ do centro da esfera reflíctese ao longo da liña radial ao punto $P^{\prime }$ que é nunha distancia

${\rho }^{\prime }=\frac{a^2}{\rho }.$

Obsérvase que se $P$ está dentro da esfera, entón $P^{\prime }$ estará fóra da esfera. A función de Green está dada entón por

$\frac{1}{4\pi R}-\frac{a}{4\pi \rho R^{\prime }},$

onde $R$ é a distancia ao punto da fonte $P$ e $R^{\prime }$ é a distancia ao punto reflectido $P^{\prime }$. Unha consecuencia desta expresión para a función de Green é a fórmula integral de Poisson. Sexan $\rho$, $\theta$ e $\phi$ as compoñentes das coordenadas esféricas do punto da fonte $P$. Aquí $\theta$ é o ángulo co eixe vertical, o cal é contrario á notación matemática estadounidense, pero cumpre co estándar europeo e a práctica da física. Entón a solución da ecuación de Laplace dentro da esfera está dada por

$u(P)=\frac{1}{4\pi }{a}^3(1-\frac{{\rho }^2}{a^2})\iint \frac{g({\theta }^{\prime },{\phi }^{\prime })\sin {\phi }^{\prime }d{\theta }^{\prime }d{\phi }^{\prime }}{(a^2+{\rho }^2-2a\rho \cos \mathrm{\Theta }{)}^{3/2}},$

onde

$\cos \mathrm{\Theta }=\cos \phi \cos {\phi }^{\prime }+\sin \phi \sin {\phi }^{\prime }\cos (\theta -{\theta }^{\prime }).$

Unha consecuencia simple desta fórmula é que se $u$ é unha función harmónica, entón o valor de $u$ dentro da esfera é o valor medio dos valores sobre a esfera. Esta propiedade de valor medio implica inmediatamente que funcións harmónicas non constantes non poden tomar o seu valor máximo nun punto interior.

Electrostática

No espazo libre a ecuación de Laplace de calquera potencial electroestático debe ser igual a cero xa que $\rho$ (densidade de carga volumétrica) é cero no espazo libre.

A partir do gradiente do potencial obtense o campo eléctrico

$𝐄=-\mathrm{\nabla }V$

Tomando a diverxencia do campo eléctrico obtense a ecuación de Poisson, que relaciona o potencial eléctrico coa densidade de carga

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

No caso particular do espazo libre ($\rho =0$) a ecuación de Poisson redúcese á de Laplace.

Usando o teorema da unicidade e mostrando que un potencial satisfai a ecuación de Laplace (a segunda derivada de $V$ debería ser cero no espazo libre) e o potencial ten os valores correctos na fronteira, o potencial entón está univocamente definido.

Un potencial que non satisfai a ecuación de Laplace xunto coa condición de fronteira é un potencial electroestático inválido.

Véxase tamén

Bibliografía

• Ireneo Peral, Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales, Capítulo 5: La ecuación de Laplace. El problema de Dirichlet. Departamento de Matemáticas, Universidade Autónoma de Madrid, España.
• Ecuación de LaplaceModelo:Ligazón morta Universidad Nacional de Ingeniería, Perú.
• Ecuación de Laplace Universidade de Navarra, España.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• I. G. Petrovsky, Partial Differential Equations, W. B. Saunders Co., Philadelphia, 1967.
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
• A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Academic Press, Nova York, 1949

Outros artigos

• Ecuación de Poisson
• Función harmónica

Ligazóns externas

• Laplace Equation (particular solutions and boundary value problems) at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Example initial-boundary value problems using Laplace's equation from exampleproblems.com.
• Find out how boundary value problems governed by Laplace's equation may be solved numerically by boundary element method Modelo:Webarchive