Serie de Fourier

En matemáticas, chámase serie de Fourier, a aquela da forma:

$y(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n\cos (nx)+b_n\mathrm{sen}(nx)],$ onde $a_n$ e $b_n$ denomínanse coeficientes de Fourier da serie de Fourier da función y(x).

Fourier foi o primeiro que estudou tales series sistematicamente, aplicándoas á solución da ecuación da calor e publicando os seus resultados iniciais en 1807 e 1811. Esta área de investigación chámase algunhas veces Análise harmónica.

Converxencia a unha función periódica

Se f(x) é unha función periódica de período 2π e $a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos nxdx$, e $b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\mathrm{sen}nxdx$ daquela a serie converxe a f(x).

Forma exponencial

Pola identidade de Euler($e^{ix}=\cos (x)+i\mathrm{sen}(x)$), e operando adecuadamente, se

$C_n=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)e^{-inx}dx.$

a serie de Fourier pódese expresar coma a suma de dúas series:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{-n}{e}^{-inx}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{e}^{inx}.$

En forma máis compacta:

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{e}^{inx}$

Aplicacións

Solución de ecuacións diferenciais

A ecuación a resolver

Enxeñaría

É común substituír a variábel x por ωt, resultando as compoñentes:

$C_n=\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}f(t)e^{-in\omega t}dt.$

Polo tanto:

$f(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{e}^{in\omega t}$

Algunhas consecuencias positivas das propiedades de homomorfismo de exp

Debido a que as "funcións base" e^ikx son homomorfismos da liña real (máis concretamente, do "grupo do círculo") temos certas identidades útiles:

1. Se $g(x)=f(x-y)$ daquela $\hat{g}(k)=e^{-iky}\hat{f}(k)$
2. A transformada de Fourier é un morfismo: $(f*g)\stackrel{}{^}(k)=\hat{f}(k)\hat{g}(k)$—isto é, a transformada de Fourier dunha convolución é o produto das transformadas de Fourier.

Formulación xeral

As útiles propiedades das series de Fourier son debidas principalmente á ortogonalidade e á propiedade de homomorfismo das funcións e^{i n x}.

Outras sucesións de funcións ortogonais teñen propiedades similares, aínda que algunhas identidades útiles, concernendo por exemplo ás convolucións, non seguirán cumpríndose se se perde a "propiedade de homomorfismo".

Algúns exemplos son as secuencias de funcións de Bessel e os polinomios ortogonais. Tales sucesións obtéñense normalmente como solucións dunha ecuación diferencial; unha gran clase de tales sucesións útiles son solucións dos chamados problemas de Sturm-Liouville.

Véxase tamén

Outros artigos

• Transformada de Fourier.
• Análise harmónica.
• Fenómeno de Gibbs.