Conxunto xerador dun grupo

As raíces 5 da unidade no plano complexo forman un grupo baixo a multiplicación. Cada elemento non identidade xera o grupo.

En álxebra abstracta, un conxunto xerador dun grupo é un subconxunto do grupo tal que cada elemento do grupo pode expresarse como unha combinación (baixo a operación de grupo) dun número finito de elementos do subconxunto e os seus inversos.

Noutras palabras, se $S$ é un subconxunto dun grupo $G$, entón $⟨S⟩$, o subgrupo xerado por $S$ denotado $⟨S⟩$,, é o subgrupo de todos os elementos de $G$ que se pode expresar como un produto finito dos elementos de $S$ e os seus inversos. (Teña en conta que os inversos só son necesarias se o grupo é infinito; nun grupo finito, o inverso dun elemento pódese expresar tamén como unha potencia dese elemento).

Se $G=⟨S⟩$, entón dicimos que $S$ xera $G$, e os elementos en $S$ chámanse xeradores ou xeradores de grupo. Se $S$ é o conxunto baleiro, entón $⟨S⟩$ é o grupo trivial $\{e\}$, xa que consideramos que o produto baleiro é a identidade.

Cando hai un único elemento $x$ en $S$, $⟨S⟩$ adoita escribirse como $⟨x⟩$. Neste caso, $⟨x⟩$ é o subgrupo cíclico das potencias de $x$, un grupo cíclico, e dicimos que este grupo é xerado por $x$. Para grupos finitos, tamén é equivalente a dicir que $x$ ten orde $|G|$.

Se $G$ é un grupo topolóxico e logo un subconxunto $S$ de $G$ chámase conxunto de xeradores topolóxicos se $⟨S⟩$ é denso en $G$, é dicir, o peche de $⟨S⟩$ é todo o grupo $G$.

Grupo xerado finitamente

Se $S$ é finito, entón un grupo $G=⟨S⟩$ chámase xerado finitamente. En particular, a estrutura dos grupos abelianos xerados de forma finita descríbese facilmente. Moitos teoremas que son certos para grupos finitamente xerados fallan para os grupos en xeral. Probouse que se un grupo finito é xerado por un subconxunto $S$, entón todo elemento do grupo pode expresarse como unha palabra do alfabeto $S$ de lonxitude inferior ou igual á orde do grupo.

Todo grupo finito xérase finitamente posto que $⟨G⟩=G$. Os enteiros baixo a adición son un exemplo dun grupo infinito que é xerado de xeito finito tanto por 1 como por −1, mais o grupo de racionais baixo a adición non se pode xerar de xeito finito. Non se pode xerar de forma finita ningún grupo non numerábel. Por exemplo, o grupo de números reais baixo a suma, $(ℝ,+)$ non se pode xerar finitamente.

Diferentes subconxuntos do mesmo grupo poden estar xerando subconxuntos. Por exemplo, se $p$ e $q$ son enteiros con Modelo:Math, entón $\{p,q\}$ tamén xera o grupo de enteiros baixo a adición pola identidade de Bézout.

Exemplos

• O grupo multiplicativo de enteiros módulo 9, Modelo:Math, é o grupo de todos os enteiros coprimos con  9 baixo multiplicación Modelo:Math. Pode ver que 7 non é un xerador de Modelo:Math, xa que

$\{7^{i}mod9|i\in \mathbb{N}\}=\{7,4,1\},$

mentres que 2 si que é un xerador, xa que

$\{2^{i}mod9|i\in \mathbb{N}\}=\{2,4,8,7,5,1\}.$

• Por outra banda, S_n, o grupo simétrico de grao n, non é xerado por ningún elemento (non é cíclico ) cando n > 2. No ontanto, nestes casos S_n sempre pode ser xerado por dúas permutacións que se escriben en notación de ciclo como (1 2) e Modelo:Math . Por exemplo, os 6 elementos de S₃ pódense xerar a partir dos dous xeradores, (1 2) e (1 2 3), como se mostra no lado dereito das seguintes igualdades (a composición é de esquerda a dereita):

e = (1 2) (1 2)

(1 2) = (1 2)

(1 3) = (1 2)(1 2 3)

(2 3) = (1 2 3)(1 2)

(1 2 3) = (1 2 3)

(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

• Os grupos infinitos tamén poden ter conxuntos xeradores finitos. O grupo aditivo de números enteiros ten o 1 como grupo xerador. O elemento 2 non é un conxunto xerador, xa que faltarán os números impares. O subconxunto de dous elementos Modelo:Math é un conxunto xerador, xa que Modelo:Math (de feito, calquera par de números primos é xerador, como consecuencia da identidade de Bézout).

• O grupo diédrico dun n-gon (que ten orde Modelo:Math) é xerado polo conxunto Modelo:Math, onde Modelo:Mvar representa a rotación de Modelo:Math e Modelo:Mvar é calquera reflexión a través dunha liña de simetría.

• O grupo cíclico da orde $n$, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, e as raíces da unidade $n$-avas son todas xeradas por un só elemento (de feito, estes grupos son isomórfos entre si).

• Unha presentación dun grupo defínese como un conxunto de xeradores e unha colección de relacións entre eles, polo que calquera dos exemplos enumerados na páxina de presentacións de grupo contén exemplos de conxuntos xeradores.

Grupo libre

O grupo máis xeral xerado por un conxunto $S$ é o grupo xerado libremente por $S$. Cada grupo xerado por $S$ é isomorfo a un cociente deste grupo, unha característica que se utiliza na expresión da presentación dun grupo.

Subgrupo de Frattini

Un tema complementario interesante é o dos non xeradores. Un elemento $x$ do grupo $G$ é un non xerador se cada conxunto $S$ que contén $x$ que xera $G$, aínda xera $G$ cando $x$ é eliminado de $S$. Nos enteiros con suma, o único que non é xerador é o 0. O conxunto de todos os non xeradores forma un subgrupo de $G$, o subgrupo de Frattini.

Semigrupos e monoides

Se $G$ é un semigrupo ou un monoide, aínda se pode usar a noción de conxunto xerador $S$ de $G$. $S$ é un conxunto xerador de semigrupos/monoides $G$ se $G$ é o semigrupo/monoide máis pequeno que contén $S$.

As definicións de conxunto xerador dun grupo usando sumas finitas, dadas anteriormente, deben modificarse lixeiramente cando se trata de semigrupos ou monoides. De feito, esta definición xa non debería usar a noción de operación inversa. O conxunto $S$ dise que é un conxunto xerador de semigrupos de $G$ se cada elemento de $G$ é unha suma finita de elementos de $S$. Do mesmo xeito, un conxunto $S$ dise que é un monoide xerador de $G$ se todo elemento distinto de cero de $G$ é unha suma finita de elementos de $S$.

Mentres que {1} é un xerador de grupos do conxunto de enteiros $\mathbb{Z}$, {1} non é un xerador monoide do conxunto de enteiros. De feito, o número enteiro −1 non se pode expresar como unha suma finita de 1s.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Lang Algebra
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Xerador (matemáticas)
• Presentación dun grupo
• Raíz primitiva

Ligazóns externas

• Modelo:Mathworld

Modelo:Control de autoridades