Subespazo vectorial

En matemáticas, e máis concretamente en álxebra linear, un subespazo linear ou subespazo vectorial ^[1] é un espazo vectorial que é un subconxunto dalgún espazo vectorial maior. Un subespazo linear adoita chamarse simplemente subespazo cando o contexto serve para distinguilo doutros tipos de subespazos.

Definición

Se V é un espazo vectorial sobre un corpo K, un subconxunto W de V é un subespazo vectorial de V se é un espazo vectorial sobre K coas operacións de V.

De forma equivalente, un subespazo vectorial de V é un subconxunto W non baleiro tal que, sempre que Modelo:Math son elementos de W e Modelo:Math son elementos de K, temos que Modelo:Math está en W. ^[2] ^[3] ^[4] ^[5] ^[6]

O conxunto unitario formado só polo vector cero e o propio espazo vectorial son subespazos vectoriais que se denominan subespazos triviais do espazo vectorial.^[7]

Exemplos

Exemplo I

No espazo vectorial V = R³ (o espazo de coordenadas reais en 3 dimensións sobre o corpo R de números reais), tomamos W como o conxunto de todos os vectores de V cuxa última compoñente é 0. Entón W é un subespazo de V.

Proba:

Dados u e v en W, entón poden expresarse como Modelo:Nowrap e Modelo:Nowrap. Así temos Modelo:Nowrap. Por tanto, u + v tamén é un elemento de W.
Dado u en W e un escalar $λ$ en R, se Modelo:Nowrap temos $λ u = (λ u_{1}, λ u_{2}, λ 0) = (λ u_{1}, λ u_{2}, 0) .$ Por tanto, $λ$ u tamén é un elemento de W.

Exemplo II

Sexa de novo o corpo R, mais agora sexa o espazo vectorial V o plano cartesiano R². Considere W como o conxunto de puntos (x, y) de R ² tal que x = y. Entón W é un subespazo de R².

Exemplo III

De novo tome o corpo R, mais agora sexa o espazo vectorial V o conxunto R^R de todas as funcións de R en R. Sexa C(R) o subconxunto formado polas funcións continuas. Entón C(R) é un subespazo de R^R.

Proba:

Sabemos polo cálculo que Modelo:Nowrap.
Sabemos polo cálculo que a suma de funcións continuas é continua.
De novo, sabemos polo cálculo que o produto dunha función continua e un número é continua.

Exemplo IV

Manteña o mesmo corpo e espazo vectorial que antes,mais agora considere o conxunto Diff(R) de todas as funcións diferenciábeis. O mesmo tipo de argumento que antes mostra que este tamén é un subespazo vectorial.

Propiedades dos subespazos

Da definición de espazos vectoriais, despréndese que os subespazos non están baleiros e están pechados baixo as sumas e baixo a multiplicación escalar.^[8]

Isto é equivalente a dicir que os subespazos poden caracterizarse pola propiedade de estaren pechados baixo combinacións lineares. É dicir, un conxunto non baleiro W é un subespazo vectorial se e só se toda combinación linear de elementos finitos de W tamén pertence a W.

Nun espazo vectorial topolóxico X, un subespazo W non necesita estar pechado topoloxicamente, mais un subespazo de dimensión finita sempre está pechado. ^[9]

Tipos frecuentes de subespazos

Algúns tipos frecuentes de subespazos inclúen o conxunto solución dun sistema homoxéneo de ecuacións lineares, o subconxunto do espazo euclidiano descrito por un sistema de ecuacións paramétricas homoxéneas lineares, o subespazo vectorial xerado por unha colección de vectores, o espazo nulo ou kernel, e tamén os espazos de columnas e os espazos de filas dunha matriz (combinacións lineares das columnas ou filas da matriz).

Xeometricamente (especialmente sobre o corpo de números reais e os seus subcorpos), un subespazo é un hiperplano nun n-espazo que pasa pola orixe.

Independencia, base e dimensión

En xeral, un subespazo de Kⁿ determinado por k parámetros (ou estendido por k vectores) ten dimensión k. No entante, hai excepcións a esta regra. Por exemplo, o subespazo de K³ estendido polos tres vectores (1,0,0), (0,0,1), e (2,0,3) é só o plano xz, con cada punto do plano descrito por infinitos valores diferentes de Modelo:Nowrap.

En xeral, os vectores v₁, ... , v_k chámanse linearmente independentes se

t_{1} 𝐯_{1} + \dots + t_{k} 𝐯_{k} \neq u_{1} 𝐯_{1} + \dots + u_{k} 𝐯_{k}

para (t₁ ,t₂ ,...,t _k )≠ (u₁,u ₂ ,...,u_k ).

Isto pódese expresar tamén como: os vectores v₁, ..., v_k son linearmente independentes se

Modelo:Nowrap para Modelo:Nowrap.

Se Modelo:Nowrap Modelo:Nowrap son linearmente independentes, entón as coordenadas Modelo:Nowrap para un vector xerado están determinadas de forma única.

Unha base para un subespazo S é un conxunto de vectores linearmente independentes cuxa combinación linear (ou extensión) é S. O número de elementos nunha base é sempre igual á dimensión xeométrica do subespazo.

Exemplo

Sexa S o subespazo de R⁴ definido polas ecuacións

x_{1} = 2 x_{2} e x_{3} = 5 x_{4} .

Entón os vectores (2, 1, 0, 0) e (0, 0, 5, 1) son unha base para S. En particular, cada vector que satisfaga as ecuacións anteriores pódese escribir de forma única como unha combinación linear dos dous vectores básicos:

(2 t_{1}, t_{1}, 5 t_{2}, t_{2}) = t_{1} (2, 1, 0, 0) + t_{2} (0, 0, 5, 1) .

O subespazo S é bidimensional. Xeométricamente, é o plano en R⁴ que pasa polos puntos (0,0,0,0), (2,1,0,0), e (0,0,5,1).

Operacións e relacións con subespazos

Intersección

Dados os subespazos U e W dun espazo vectorial V, entón a súa intersección U ∩ W := { v ∈ V : v é un elemento tanto de U como W } tamén é un subespazo de V.^[10]

Suma

Se U e W son subespazos, a súa suma é o subespazo ^[11] $U + W = {𝐮 + 𝐰 : 𝐮 \in U, 𝐰 \in W} .$

Por exemplo, a suma de dúas rectas é o plano que as contén. A dimensión da suma satisfai a desigualdade $\max (\dim U, \dim W) \leq \dim (U + W) \leq \dim (U) + \dim (W) .$

Aquí, o mínimo só ocorre se un subespazo está contido no outro, mentres que o máximo é o caso máis xeral. A dimensión da intersección e a suma están relacionadas coa seguinte ecuación: ^[12] $\dim (U + W) = \dim (U) + \dim (W) - \dim (U \cap W) .$

Un conxunto de subespazos é independente cando a única intersección entre calquera par de subespazos é o subespazo trivial.

A suma directa é a suma de subespazos independentes, escritos como $U \oplus W$ . Unha reformulación equivalente é que unha suma directa é unha suma de subespazos baixo a condición de que cada subespazo contribúa na extenxión da suma. ^[13] ^[14] ^[15] ^[16]

Notas

Modelo:Reflist Modelo:Reflist

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Modelo:Cita web Modelo:Cbignore

Modelo:Control de autoridades

↑ Modelo:Harvtxt pp. 16–17, § 10
↑ Modelo:Harvtxt
↑ Modelo:Harvtxt
↑ Modelo:Harvtxt
↑ Modelo:Harvtxt
↑ Modelo:Harvtxt
↑ Modelo:Harvtxt p. 100, ch. 2, Definition 2.13
↑ Modelo:Harvtxt Subspace.
↑ Modelo:Harvtxt Basic facts about Hilbert Space — class notes from Colorado State University on Partial Differential Equations (M645).
↑ Modelo:Harvtxt
↑ Modelo:Harvtxt
↑ Modelo:Harvtxt
↑ Modelo:Harvtxt p. 148, ch. 2, §4.10
↑ Modelo:Harvtxt p. 21 § 1.40
↑ Modelo:Harvtxt pp. 10–11, § 1.2.5
↑ Modelo:Harvtxt pp. 28–29, § 18

[1] Modelo:Harvtxt pp. 16–17, § 10

[2] Modelo:Harvtxt

[3] Modelo:Harvtxt

[4] Modelo:Harvtxt

[5] Modelo:Harvtxt

[6] Modelo:Harvtxt

[7] Modelo:Harvtxt p. 100, ch. 2, Definition 2.13

[8] Modelo:Harvtxt Subspace.

[9] Modelo:Harvtxt Basic facts about Hilbert Space — class notes from Colorado State University on Partial Differential Equations (M645).

[10] Modelo:Harvtxt

[11] Modelo:Harvtxt

[12] Modelo:Harvtxt

[13] Modelo:Harvtxt p. 148, ch. 2, §4.10

[14] Modelo:Harvtxt p. 21 § 1.40

[15] Modelo:Harvtxt pp. 10–11, § 1.2.5

[16] Modelo:Harvtxt pp. 28–29, § 18

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

Subespazo vectorial

Índice

Definición

Exemplos

Exemplo I

Exemplo II

Exemplo III

Exemplo IV

Propiedades dos subespazos

Tipos frecuentes de subespazos

Independencia, base e dimensión

Operacións e relacións con subespazos

Intersección

Suma

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Menú de navegación

Subespazo vectorial

Definición

Exemplos

Exemplo I

Exemplo II

Exemplo III

Exemplo IV

Propiedades dos subespazos

Tipos frecuentes de subespazos

Independencia, base e dimensión

Operacións e relacións con subespazos

Intersección

Suma

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Menú de navegación

Procura