Dominio de integridade

En matemáticas, un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero no que o produto de dous elementos distintos de cero é distinto de cero. Modelo:Sfn Modelo:Sfn Os dominios de integridade son xeneralizacións do anel de enteiros e proporcionan un escenario natural para estudar a divisibilidade. Nun dominio de integridade, todo elemento distinto de cero a ten a propiedade de cancelación, é dicir, se Modelo:Nowrap, unha igualdade Modelo:Nowrap implica Modelo:Nowrap.

Algúns tipos específicos de dominios de integridade danse coa seguinte cadea de inclusión de clases: Modelo:Commutative ring classes

Definición

Un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero no que o produto de dous elementos calquera é distinto de cero. De forma equivalente:

• Un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero sen divisores de cero distintos de cero.
• Un dominio de integridade é un anel conmutativo no que o ideal cero {0} é un ideal primo.
• Un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero para o cal cada elemento distinto de cero é cancelable baixo a multiplicación.
• Un dominio de integridade é un anel para o cal o conxunto de elementos distintos de cero é un monoide conmutativo baixo a multiplicación (porque un monoide debe estar pechado baixo a multiplicación).
• Un dominio de integridade é un anel conmutativo distinto de cero no que para cada elemento distinto de cero r, a función que mapea cada elemento x do anel co produto xr é inxectiva. Os elementos r con esta propiedade chámanse regulares, polo que é equivalente a esixir que todos os elementos do anel non nulos sexan regulares.
• Un dominio de integridade é un anel isomorfo a un subanel dun corpo. (Dado un dominio de integridade, pódese mergullar no seu corpo de fraccións.)

Exemplos

• O exemplo arquetípico é o anel $\mathbb{Z}$ de tódolos enteiros.
• Todo corpo é un dominio de integridade. Por exemplo, o corpo $ℝ$ de todos os números reais é un dominio de integridade. Por outra banda, cada dominio de integridade de Artin é un corpo. En particular, todos os dominios de integridade finitos son corpos finitos (en xeral, polo pequeno teorema de Wedderburn, dominios finitos son corpos finitos). O anel de números enteiros $\mathbb{Z}$ proporciona un exemplo dun dominio de integridade infinito non artiniano que non é un corpo, posuíndo secuencias infinitas descendentes de ideais como:

  $\mathbb{Z}\supset 2\mathbb{Z}\supset \cdots \supset 2^n\mathbb{Z}\supset 2^{n+1}\mathbb{Z}\supset \cdots$

• Os aneis de polinomios son dominios de integridade se os coeficientes veñen dun dominio de integridade. Por exemplo, o anel $\mathbb{Z}[x]$ de todos os polinomios nunha variábel con coeficientes enteiros é un dominio de integridade; así é o anel $ℂ[x_1,\dots ,x_n]$ de todos os polinomios en n-variables con coeficientescomplexos.
• O anel $\mathbb{Z}[x]/(x^2-n)\cong \mathbb{Z}[\sqrt{n}]$ é un dominio de integridade para calquera número enteiro non cadrado $n$. Se $n>0$, entón este anel é sempre un subanel de $ℝ$, se non, é un subanel de $ℂ.$
• O anel de enteiros p-ádicos ${\mathbb{Z}}_p$ é un dominio de integridade.
• O anel de serie de potencias formais de un dominio de integridade é un dominio de integridade.
• Se $U$ é un subconxunto aberto conexo do plano complexo $ℂ$, entón o anel $\mathscr{H}(U)$ consistente en tódalas funcións holomorfas é un dominio de integridade. O mesmo é certo para os aneis de funcións analíticas sobre subconxuntos abertos de variedades analíticas conexas.
• A anel local regular é un dominio de integridade. De feito, un anel local regular é un dominio de factorización única (UFD).Modelo:SfnModelo:Sfn

Non exemplos

Os seguintes aneis non son dominios de integridade.

• O anel cero (nese anel $0=1$).
• O anel cociente $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ cando m é un número composto. De feito, se escollemos unha factorización adecuada $m=xy$ (onde $x$ e $y$ non son iguais a $1$ ou $m$). Temos $x\equiv ̸0modm$ e $y\equiv ̸0modm$ pero $xy\equiv 0modm$.
• O produto de dous aneis conmutativos diferentes de cero. Nun produto como este $R\times S$, temos $(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$.
• O anel cociente $\mathbb{Z}[x]/(x^2-n^2)$ para calquera $n\in \mathbb{Z}$. As imaxes de $x+n$ e $x-n$ son diferentes de cero, mentres que o seu produto é 0 neste anel.
• O anel de matrices n × n sobre calquera anel non cero cando n ≥ 2. Se $M$ e $N$ son matrices tal que a imaxe de $N$ está contida no kernel de $M$, entón $MN=0$. Por exemplo, isto ocorre para $M=N=(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array})$.
• O anel cociente $k[x_1,\dots ,x_n]/(fg)$ para calquera corpo $k$ e calquera polinomio non constante $f,g\in k[x_1,\dots ,x_n]$. As imaxes de Modelo:Math e Modelo:Math neste anel cociente son elementos diferentes de cero cuxo produto é 0. Este argumento mostra, de forma equivalente, que $(fg)$ non é un ideal primo. A interpretación xeométrica deste resultado é que os ceros de Modelo:Math forman un conxunto alxébrico afín que non é irredutíbel (é dicir, non é un variedade alxébrica) en xeral. O único caso no que este conxunto alxébrico pode ser irredutíbel é cando Modelo:Math é a potencia dun polinomio irredutíbel, que define o mesmo conxunto alxébrico.
• O anel de funcións continuas sobre o intervalo unitario. Considere as funcións

  $f(x)=\{\begin{array}{cc}1-2x& x\in [0,\frac{1}{2}]\\ 0& x\in [\frac{1}{2},1]\end{array}g(x)=\{\begin{array}{cc}0& x\in [0,\frac{1}{2}]\\ 2x-1& x\in [\frac{1}{2},1]\end{array}$

Nigunha de $f$ e $g$ é cero en todas as partes, pero $fg$ si que o é.

Divisibilidade, elementos primos e elementos irredutíbeis

Nesta sección, R é un dominio de integridade.

Dados os elementos a e b de R, dise que a divide a b, ou que a é un divisor de b, ou que b é un múltiplo de a, se existe un elemento x en R tal que Modelo:Nowrap .

As unidades de R son os elementos que dividen a 1; que son precisamente os elementos invertíbeis en R. As unidades dividen todos os demais elementos.

Se a divide a b e b divide a a, entón a e b son elementos asociados.Modelo:Sfn De forma equivalente, a e b son asociados se Modelo:Nowrap para algunha unidade u.

Un elemento irredutíbel é unha non unidade distinta de cero que non se pode escribir como produto de dúas non unidades.

Un p non unitario distinto de cero é un elemento primo se, sempre que p divide un produto ab, entón p divide a ou p divide b. De forma equivalente, un elemento p é primo se e só se o ideal principal (p) é un ideal primo distinto de cero.

Tanto as nocións de elementos irredutíbeis como de elementos primos xeneralizan a definición ordinaria de números primos no anel $\mathbb{Z},$ se se consideran primos os primos negativos.

Todo elemento primo é irredutíbel. En xeral a inversa non é verdade: por exemplo, no anel de enteiros cadráticos $\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]$ o elemento 3 é irredutíbel (se factorizase de forma non trivial, cada un dos factores debería ter a norma 3, mais non hai elementos de norma 3 xa que $a^2+5b^2=3$ non ten solucións enteiras), mais non é primo (xa que 3 divide $(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})$ sen dividir ningún dos factores). Nun dominio de factorización única (UFD) un elemento irredutíbel é un elemento primo.

Aínda que a factorización única non se cumpre en $\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]$, si que hai unha factorización única dos ideais. Vexa o teorema de Lasker–Noether.

Propiedades

• Un anel conmutativo R é un dominio de integridade se e só se o ideal (0) de R é un ideal primo.
• Se R é un anel conmutativo e P é un ideal en R, entón o anel cociente R/P é un dominio de integridade se e só se P é un ideal primo.
• Sexa R un dominio de integridade. Entón os aneis polinómicos sobre R (en calquera número de indeterminados) son dominios de integridade. Este é o caso en particular se R é un corpo.
• A propiedade de cancelación cúmprese en calquera dominio de integridade: para calquera a, b e c nun dominio de integridade, se Modelo:Nowrap e Modelo:Nowrap entón Modelo:Nowrap. Outra forma de afirmalo é que a función Modelo:Nowrap é inxectiva para calquera a distinto de cero no dominio.
• A propiedade de cancelación cúmprese para os ideais en calquera dominio de integridade: se Modelo:Nowrap, entón x é cero ou Modelo:Nowrap.
• Un dominio de integridade é igual á intersección das súas localizacións nos ideais máximos.
• Un límite indutivo de dominios de integridade é un dominio de integridade.
• Se A, B son dominios de integridade sobre un corpo alxebraicamente pechado k, entón Modelo:Nowrap é un dominio de integridade. Esta é unha consecuencia do nullstellensatz de Hilbert (teorema dos ceros de Hilbert), e en xeometría alxébrica, implica a afirmación de que o anel de coordenadas do produto de dúas variedades alxébricas afines sobre un corpo alxebricamente pechado é tamén un dominio de integridade.

Corpo de fraccións

O corpo das fraccións K dun dominio de integridade R é o conxunto de fraccións a/b con a e b en R e Modelo:Nowrap módulo unha relación de equivalencia adecuada, equipada coas operacións habituais de suma e multiplicación.

Xeometría alxébrica

En xeometría alxébrica, un anel de coordenadas dun conxunto alxébrico afín é un dominio de integridade se e só se o conxunto alxébrico é unha variedade alxébrica.

De forma máis xeral, un anel conmutativo é un dominio de integradade se e só se o seu espectro é un esquema afín de integridade.

Característica e homomorfismos

A característica dun dominio de integridade é 0 ou un número primo.

Se R é un dominio integridade da característica prima p, entón o endomorfismo de Frobenius Modelo:Nowrap é inxectivo.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Norma de Dedekind–Hasse norm, a estrutura adicional necesaria para que un dominio de integridade sexa principal
• Propiedade do produto cero

Ligazóns externas

• Modelo:Cita web

Modelo:Control de autoridades