Produto directo

En matemáticas, pódese definir a miúdo un produto directo de obxectos xa coñecidos, dando un novo. Isto induce unha estrutura sobre o produto cartesiano dos conxuntos subxacentes a partir dos obxectos contribuíntes. De forma máis abstracta, fálase do produto na teoría de categorías, que formaliza estas nocións.

Exemplos son o produto de conxuntos, grupos, aneis e outras estruturas alxébricas. tamén temos o produto dos espazos topolóxicos.

Exemplos

• Se pensamos $ℝ$ como o conxunto de números reais sen máis estrutura, entón o produto directo $ℝ\times ℝ$ é só o produto cartesiano $\{(x,y):x,y\in ℝ\}.$
• Se pensamos $ℝ$ como o grupo de números reais baixo adición, entón o produto directo $ℝ\times ℝ$ aínda ten $\{(x,y):x,y\in ℝ\}$ como o seu conxunto subxacente. A diferenza entre este e o exemplo anterior é que $ℝ\times ℝ$ agora é un grupo, polo que tamén temos que dicir como engadir os seus elementos. Isto faise definindo $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).$
• Se pensamos $ℝ$ como o anel dos números reais, daquela o produto directo $ℝ\times ℝ$ de novo ten $\{(x,y):x,y\in ℝ\}$ como o seu conxunto subxacente. A estrutura do anel consiste na suma definida por $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ e na multiplicación definida por $(a,b)(c,d)=(ac,bd).$
• Aínda que o anel $ℝ$ é un corpo, $ℝ\times ℝ$ non o é, porque o elemento distinto de cero $(1,0)$ non ten inverso multiplicativo .

De xeito semellante, podemos falar do produto directo de un número finito de estruturas alxébricas, por exemplo, $ℝ\times ℝ\times ℝ\times ℝ.$ Isto é posíbel debido a que o produto directo é asociativo ata isomorfismo. É dicir, $(A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)$ para calquera estruturas alxébricas $A,$$B,$ e $C$ do mesmo tipo. O produto directo tamén é conmutativo ata isomorfismo, é dicir, $A\times B\cong B\times A$ para calquera estrutura alxébrica $A$ e $B$ do mesmo tipo. Mesmo podemos falar do produto directo de infinitas estruturas alxébricas; por exemplo podemos tomar o produto directo de moitas copias contables de $ℝ,$ que escribimos como $ℝ\times ℝ\times ℝ\times \cdots .$

Produto directo de grupos

Na teoría de grupos pódese definir o produto directo de dous grupos $(G,\circ )$ e $(H,\cdot ),$ denotado por $G\times H.$ Para os grupos abelianos que se escriben aditivamente, tamén se pode denominar suma directa de dous grupos, denotada por $G\oplus H.$

Defínese do seguinte xeito:

• o conxunto dos elementos do novo grupo é o produto cartesiano dos conxuntos de elementos de $G\text{ e }H,$ é dicir $\{(g,h):g\in G,h\in H\};$
• sobre estes elementos ponse unha operación, definida a nivel de elementos:

$(g,h)\times (g^{\prime },h^{\prime })=(g\circ g^{\prime },h\cdot h^{\prime })$

Teña en conta que $(G,\circ )$ pode coincidir con $(H,\cdot ).$

Esta construción dá un novo grupo. Ten un subgrupo normal isomorfo a $G$ (dado polos elementos da forma $(g,1)$ ), e outro isomorfo a $H$ (que comprende os elementos $(1,h)$ ).

Na dirección contraria tamén se cumpre. Se un grupo $K$ contén dous subgrupos normais $G\text{ and }H,$ tal que $K=GH$ e a intersección de $G\text{ and }H$ contén só a identidade, daquela $K$ é isomorfo a $G\times H.$ Unha relaxación desta condición, de modo que só necesitásemos que un subgrupo fose normal, entón temos un produto semidirecto.

Como exemplo, tome como $G\text{ e }H$ dúas copias do único grupo (ata isomorfismos) de orde 2, $C^2:$ digamos $\{1,a\}\text{ e }\{1,b\}.$ Entón $C_2\times C_2=\{(1,1),(1,b),(a,1),(a,b)\},$ coa operación realizada elemento por elemento. Por exemplo, $(1,b{)}^{*}(a,1)=(1^{*}a,b^{*}1)=(a,b),$ e $(1,b{)}^{*}(1,b)=(1,b^2)=(1,1).$

Cun produto directo, obtemos a maiores algúns homomorfismos de grupos naturais: os mapas de proxección definidos por

$\begin{array}{cc}{\pi }_1:G\times H\to G,{\pi }_1(g,h)& =g\\ {\pi }_2:G\times H\to H,{\pi }_2(g,h)& =h\end{array}$

e chámanse funcións de coordenadas.

Para calquera grupo $(G,\circ )$ e calquera número enteiro $n>0,$ a aplicación repetida do produto directo dá o grupo de todas as $n$-tuplas $G^n$ por exemplo ${\mathbb{Z}}^n$ e ${ℝ}^n.$

Produto directo de módulos

O produto directo para módulos (que non debe confundirse co produto tensorial) é moi semellante ao definido para os grupos anteriormente, utilizando o produto cartesiano coa operación de adición por compoñentes, e a multiplicación escalar distribuíndose por todos os compoñentes. A partir de $ℝ$ obtemos o espazo euclidiano ${ℝ}^n,$ o exemplo prototípico dun espazo vectorial real $n$-dimensional. O produto directo de ${ℝ}^m$ e ${ℝ}^n$ é ${ℝ}^{m+n}.$

Teña en conta que un produto directo para un índice finito ${\prod }_{i=1}^n{X}_i$ é canonicamente isomorfo á suma directa ${⨁}_{i=1}^n{X}_i.$ A suma directa e o produto directo non son isomorfos para índices infinitos.

Produto directo de espazos topolóxicos

O produto directo para unha colección de espazos topolóxicos $X_i$ para $i$ en $I,$ algún conxunto de índices, unha vez máis fai uso do produto cartesiano

$\prod _{i\in I}{X}_i.$

Defínese a topoloxía para finitamente moitos factores: simplemente tomamos como base de conxuntos abertos a colección de todos os produtos cartesianos de subconxuntos abertos de cada factor:

$ℬ=\{U_1\times \cdots \times U_n:U_i\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{\in }{X}_i\}.$

Esta topoloxía chámase topoloxía do produto . Por exemplo, para definir directamente a topoloxía do produto ${ℝ}^2$ polos conxuntos abertos de $ℝ$ (unións disxuntas de intervalos abertos), a base desta topoloxía consistiría en todas as unións disxuntas de rectángulos abertos no plano (como se ve, coincide coa topoloxía métrica habitual).

Para obter máis propiedades e formulacións equivalentes, consulte a topoloxía produto.

Produto directo de relacións binarias

Sobre o produto cartesiano de dous conxuntos con relacións binarias $R\text{ e }S,$ definimos $(a,b)T(c,d)$ como $aRc\text{ e }bSd.$ Se $R\text{ and }S$ son ambos os dous reflexivos, irreflexivos, transitivos, simétricos ou antisimétricos, entón $T$ tamén o será. Do mesmo xeito, a totalidade de $T$ é herdada de $R\text{ and }S.$ Ao combinar propiedades despréndese que isto tamén se aplica ao ser unha preorde e unha relación de equivalencia. Porén, se $R\text{ and }S$ son relacións conectadas, $T$ non precisa estar conectado; por exemplo, o produto directo de $\le$ sobre $\mathbb{N}$ consigo mesmo non relaciona $(1,2)\text{ con }(2,1).$

Produto directo en álxebra universal

Se $\mathrm{\Sigma }$ é unha sinatura fixada, $I$ é un conxunto de índices arbitrario (posiblemente infinito) e ${\left({𝐀}_i\right)}_{i\in I}$ é unha familia indexada de $\mathrm{\Sigma }$ álxebras, o produto directo $𝐀=\prod _{i\in I}{𝐀}_i$ é unha $\mathrm{\Sigma }$ álxebra definida como segue:

• O conxunto universo $A$ de $𝐀$ é o produto cartesiano dos conxuntos universo $A_i$ de ${𝐀}_i,$ formalmente: $A=\prod _{i\in I}{A}_i.$
• Para cada $n$ e cada $n$-aria operación de símbolo $f\in \mathrm{\Sigma },$ a súa interpretación $f^{𝐀}$ en $𝐀$ defínese por compoñentes, formalmente: para todos os $a_1,\dots ,a_n\in A$ e cada $i\in I,$ o $i$-ésimo compoñente de $f^{𝐀}(a_1,\dots ,a_n)$ defínese como $f^{{𝐀}_i}(a_1(i),\dots ,a_n(i)).$

Produto directo interno e externo

Algúns autores fan unha distinción entre un produto directo interno e un produto directo externo. Por exemplo, se $A$ e $B$ son subgrupos dun grupo abeliano aditivo $G$, tal que $A+B=G$ e $A\cap B=\{0\}$, entón $A\times B\cong G,$ e dicimos que $G$ é o produto directo interno de $A$ e $B$. Para evitar ambigüidades, podemos referirnos ao conxunto $\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$ como produto directo externo de $A$ e $B$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556

Outros artigos

• Suma directa.
• Produto tensorial.

Ligazóns externas

• Produto directo en MathWorld.

Modelo:Control de autoridades