Índice dun subgrupo

En matemáticas, especificamente na teoría de grupos, o índice dun subgrupo H nun grupo G é o número de coclases esquerdas de H en G, ou equivalentemente, o número de coclases dereitas de H en G. Indícase o índice como $|G:H|$ ou $[G:H]$ ou $(G:H)$. Debido a que G é a unión disxunta das coclases esquerdas e porque cada coclase esquerda ten o mesmo tamaño que H, o índice está relacionado coas ordes dos dous grupos mediante a fórmula

$|G|=|G:H||H|$

(interprete as cantidades como números cardinais se algunhas delas son infinitas). Así o índice $|G:H|$ mide os "tamaños relativos" de G e H.

Por exemplo, sexa $G=\mathbb{Z}$ o grupo de enteiros baixo a suma, e sexa $H=2\mathbb{Z}$ o subgrupo formado polos enteiros pares. Daquela $2\mathbb{Z}$ ten dúas coclases en $\mathbb{Z}$, é dicir, o conxunto de enteiros pares e o conxunto de enteiros impares, polo que o índice $|\mathbb{Z}:2\mathbb{Z}|$ é 2. De forma máis xeral, $|\mathbb{Z}:n\mathbb{Z}|=n$ para calquera número enteiro positivo n.

Cando G é finito, a fórmula pódese escribir como $|G:H|=|G|/|H|$, e implica o teorema de Lagrange que $|H|$ divide a $|G|$.

Cando G é infinito, $|G:H|$ é un número cardinal distinto de cero que pode ser finito ou infinito. Por exemplo, $|\mathbb{Z}:2\mathbb{Z}|=2$, mais $|ℝ:\mathbb{Z}|$ é infinito.

Se N é un subgrupo normal de G, entón $|G:N|$ é igual á orde do grupo cociente $G/N$, xa que o conxunto subxacente de $G/N$ é o conxunto de coclases de N en G.

Propiedades

• Se H é un subgrupo de G e K é un subgrupo de H, daquela

$|G:K|=|G:H||H:K|.$

• Se H e K son subgrupos de G, daquela

$|G:H\cap K|\le |G:H||G:K|,$

con igualdade se $HK=G$ . (Se $|G:H\cap K|$ é finito, entón a igualdade vale se e só se $HK=G$).

• De forma equivalente, se H e K son subgrupos de G, daquela

$|H:H\cap K|\le |G:K|,$

con igualdade se $HK=G$ . (Se $|H:H\cap K|$ é finito, entón a igualdade vale se e só se $HK=G$).

• Se G e H son grupos e $\phi :G\to H$ é un homomorfismo, daquela o índice do kernel de $\phi$ en G é igual á orde da imaxe:

$|G:\ker \phi |=|\mathrm{im}\phi |.$

• Sexa G un grupo que actúa sobre un conxunto X, e sexa x ∈ X. Entón a cardinalidade da órbita de x baixo G é igual ao índice do estabilizador de x:

$|Gx|=|G:G_x|.$

Isto coñécese como o teorema órbita-estabilizador.

• Como caso especial do teorema do estabilizador de órbita, o número de conxugados $gx{g}^{-1}$ dun elemento $x\in G$ é igual ao índice do centralizador de x en G.
• Do mesmo xeito, o número de conxugados $gH{g}^{-1}$ dun subgrupo H en G é igual ao índice do normalizador de H en G .
• Se H é un subgrupo de G, o índice do corazón normal de H satisfai a seguinte desigualdade:

$|G:\mathrm{Core}(H)|\le |G:H|!$

onde ! denota a función factorial.

• Como corolario, se o índice de H en G é 2, ou para un grupo finito o primo máis baixo p que divide a orde de G, entón H é normal, xa que o índice do seu corazón tamén debe ser p e, polo tanto, H é igual ao seu corazón, é dicir, é normal.
• Teña en conta que é posible que non exista un subgrupo do índice primo máis baixo, como en calquera grupo simple de orde non prima ou, de xeito máis xeral, en calquera grupo perfecto .

Exemplos

• O grupo alterno $A_n$ ten índice 2 no grupo simétrico $S_n,$ e por tanto é normal.
• O grupo ortogonal especial $\mathrm{SO}(n)$ ten índice 2 no grupo ortogonal $\mathrm{O}(n)$, e por tanto é normal.
• O grupo abeliano libre $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ ten tres subgrupos de índice 2, a saber

$\{(x,y)\mid x\text{ é par}\},\{(x,y)\mid y\text{ é par}\},\text{e}\{(x,y)\mid x+y\text{ é par}\}$ .

• En xeral, se p é primo, entón ${\mathbb{Z}}^n$ ten $(p^n-1)/(p-1)$ subgrupos de índice p, correspondentes aos $(p^n-1)$ homomorfismos non triviais ${\mathbb{Z}}^n\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ .
• Do mesmo xeito, o grupo libre $F_n$ ten $(p^n-1)/(p-1)$ subgrupos do índice p.
• O grupo diédrico infinito ten un subgrupo cíclico de índice 2, que é necesariamente normal.

Índice infinito

Se H ten un número infinito de coclases en G, daquela dise que o índice de H en G é infinito. Neste caso, o índice $|G:H|$ é en realidade un número cardinal. Por exemplo, o índice de H en G pode ser contábel ou incontábel, dependendo de se H ten un número contábel de coclases en G. Teña en conta que o índice de H é como máximo a orde de G, que acontece para o subgrupo trivial, ou de feito calquera subgrupo H de cardinalidade infinita menor que a de G.

Índice finito

Un subgrupo H de índice finito nun grupo G (finito ou infinito) sempre contén un subgrupo normal N (de G), tamén de índice finito. De feito, se H ten índice n, entón o índice de N será algún divisor de n! e un múltiplo de n; de feito, N pódese tomar como o núcleo do homomorfismo natural de G no grupo de permutacións das coclases esquerdas (ou dereitas) de H

O índice do subgrupo normal non só ten que ser un divisor de n!, tamén debe satisfacer outros criterios. Dado que o subgrupo normal é un subgrupo de H, o seu índice en G debe ser n veces o seu índice dentro de H . O seu índice en G tamén debe corresponder a un subgrupo do grupo simétrico SModelo:Sub, o grupo de permutacións de n obxectos. Así, por exemplo, se n é 5, o índice non pode ser 15 aínda que isto divida 5! , porque non hai un subgrupo de orde 15 en SModelo:Sub.

Unha proba alternativa do resultado de que un subgrupo de índice primo p inferior é normal, e outras propiedades dos subgrupos de índice primo danse en Modelo:Cita Harvard .

Exemplos

O grupo O de simetría octaédrica quiral ten 24 elementos. Ten un subgrupo D₄ diédrico (de feito ten tres) de orde 8, e polo tanto de índice 3 en O, que chamaremos H. Este grupo diédrico ten un subgrupo D₂ de 4 membros, que podemos chamar A. Multiplicando pola dereita calquera elemento dunha coclase dereita de H por un elemento de A dá un membro da mesma coclase de H (Hca = Hc). A é normal en O. Hai seis coclases de A, correspondentes aos seis elementos do grupo simétrico S₃. Todos os elementos de calquera coclase particular de A realizan a mesma permutación das coclases de H.

Por outra banda, o grupo T_h de simetría piritoédrica tamén ten 24 membros e un subgrupo de índice 3 (nesta vez é un grupo de simetría prismática D_2h, ver grupos de puntos en tres dimensións), mais neste caso todo o subgrupo é un subgrupo normal. Todos os membros dunha determinada coclase realizan a mesma permutación destas coclases, mais neste caso representan só o grupo alternado de 3 elementos no grupo simétrico S₃ de 6 membros.

Véxase tamén

Outros artigos

• Orde (teoría de grupos)

Ligazóns externas

• Modelo:PlanetMath
• "Subgroup of least prime index is normal" at Groupprops, The Group Properties Wiki