Sumatorio

En matemáticas, o sumatorio $(\sum )$ é a suma dunha secuencia de números, chamadas sumandos; o resultado é a súa suma ou total. Ademais dos números, tamén se poden sumar outros tipos de valores: funcións, vectores, matrices, polinomios e, en xeral, elementos de calquera tipo de obxectos matemáticos sobre os que se define unha operación denotada como "+".

Os sumatorios de secuencias infinitas chámanse series. Implican o concepto de límite, e non se consideran neste artigo.

Para sumas longas e sumatorios de lonxitude variable é un problema común atopar formas pechadas para o resultado. Por exemplo, Modelo:Efn

$\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}.$

Notación

O símbolo do sumatorio

A notación matemática usa a letra grega grega maiúscula sigma para representar de forma compacta a suma de moitos termos similares, por exemplo:

$\sum _{i=m}^n{a}_i=a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_n$.

Onde Modelo:Math é o índice da suma; Modelo:Math é unha variable indexada que representa cada termo da suma; Modelo:Math é o índice inferior da suma e Modelo:Math é o índice superior da suma. Por tanto no exemplo de enriba a suma irá desde o elemento número Modelo:Math ata o elmento número Modelo:Math indo o índice aumentando dun en un.Modelo:Efn

Isto lese como "suma de Modelo:Math, de Modelo:Math igual a Modelo:Math ata Modelo:Math igual a Modelo:Math".

Un exemplo que mostra a suma de algúns cadrados consecutivos:

$\sum _{i=3}^6{i}^2=3^2+4^2+5^2+6^2=86.$

E outro exemplo é a suma dos primeiros Modelo:Math números da secuencia de Fibonacci

$\sum _{i=0}^n{f}_i=f_{n+2}-1.$

Ás veces o índice e os límites dos índices do sumatorio omítense da definición do sumatorio se o contexto é suficientemente claro. Isto aplícase especialmente cando o índice vai de 1 a n. Por exemplo, pódese escribir que:

$\sum a_i^2=\sum _{i=1}^n{a}_i^2.$

Outro xeito é poñer a condición do índice toda no lado inferior, por exemplo:

$\sum _{0\le k<100}f(k)$.

Tamén se pode expresar como o percorrido polos elementos dun conxunto:

$\sum _{x\in S}f(x)$ é a suma de $f(x)$ sobre todos os elementos $x$ no conxunto $S$.

$\sum _{d|n}\mu (d)$ é a suma de $\mu (d)$ sobre todos os números enteiros positivos $d$ que dividen $n$.

Tamén hai formas de xeneralizar o uso de moitos signos sigma. Por exemplo,

$\sum _{i,j}$ é o mesmo que $\sum _i\sum _j.$

Unha notación similar úsase para o produto dunha secuencia, usando $\prod$, que é unha forma ampliada da letra maiúscula grega pi.

Un sumatorio alterno de sumas e restas podemos definilo como:

$\sum _{i=0}^n(-1{)}^n{a}_i.$

Cálculo de diferenzas finitas

Dada unha función Modelo:Mvar que se define sobre os enteiros do intervalo Modelo:Math, cúmprese a seguinte ecuación:

$f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).$

Esta coñécese como serie telescópica e é o análogo do teorema fundamental do cálculo no cálculo de diferenzas finitas, que afirma que:

$f(n)-f(m)=\underset{m}{\overset{n}{\int }}{f}^{\prime }(x)dx,$ onde

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ é a derivada de Modelo:Mvar.

Un exemplo de aplicación da ecuación anterior é o seguinte:

$n^k=\sum _{i=0}^{n-1}((i+1{)}^k-i^k).$

Usando o teorema binomial, isto pódese reescribir como:

$n^k=\sum _{i=0}^{n-1}\left(\sum _{j=0}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})i^j\right).$

A fórmula anterior úsase máis habitualmente para inverter o operador diferenza $\mathrm{\Delta }$, definido por:

$\mathrm{\Delta }(f)(n)=f(n+1)-f(n),$

onde Modelo:Mvar é unha función definida nos enteiros non negativos. Así, dada tal función Modelo:Mvar, o problema é calcular a antidiferenza de Modelo:Mvar, unha función $F={\mathrm{\Delta }}^{-1}f$ tal que $\mathrm{\Delta }F=f$. É dicir, $F(n+1)-F(n)=f(n).$ Esta función defínese ata a adición dunha constante, e pódese escoller como

$F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).$

Non sempre hai unha expresión en forma pechada para tal suma, mais a fórmula de Faulhaber proporciona unha forma pechada no caso en que $f(n)=n^k$ e, por linearidade, para cada función polinómica de Modelo:Mvar.

Aproximación por integrais definidas

Moitas aproximacións deste tipo pódense obter mediante a seguinte conexión entre sumas e integrais, que vale para calquera función crecente f:

$\underset{s=a-1}{\overset{b}{\int }}f(s)ds\le \sum _{i=a}^{b}f(i)\le \underset{s=a}{\overset{b+1}{\int }}f(s)ds.$

e para calquera función decrecente f:

$\underset{s=a}{\overset{b+1}{\int }}f(s)ds\le \sum _{i=a}^{b}f(i)\le \underset{s=a-1}{\overset{b}{\int }}f(s)ds.$

Para aproximacións máis xerais, consulte a fórmula de Euler-Maclaurin.

Para sumatorios nos que o sumando está dado (ou pode ser interpolado) por unha función integrable do índice, o sumatorio pode interpretarse como unha suma de Riemann que se produce na definición da integral definida correspondente. Polo tanto, pódese esperar que, por exemplo,

$\frac{b-a}{n}\sum _{i=0}^{n-1}f(a+i\frac{b-a}{n})\approx \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx,$

xa que o lado dereito é por definición o límite para $n\to \mathrm{\infty }$ do lado esquerdo. Porén, para unha suma dada n é fixo, non tende a infinito, e pouco se pode dicir sobre o erro na aproximación anterior sen presupostos adicionais sobre f: está claro que para funcións con oscilacións a grande escala a suma de Riemann pode estar arbitrariamente lonxe da integral de Riemann.

Identidades

As fórmulas seguintes implican sumas finitas; para sumas infinitas ou sumas finitas de expresións que impliquen funcións trigonométricas ou outras funcións transcendentais, consulte a lista de series matemáticas.

Identidades xerais

$\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)$ (distributiva).

$\sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^t(f(n)\pm g(n))$ (conmutativa e asociativa).

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)$ (desprazamento do índice).

$\sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),$ (bixección Modelo:Mvar dun conxunto finito Modelo:Mvar nun conxunto Modelo:Mvar, mudar o índice, xeneraliza a fórmula precedente).

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)$ (subdividir unha suma, usando asociatividade).

$\sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)$ (outra variante da anterior).

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)$.

$\sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)$.

$\sum _{i=k_0}^{k_1}\sum _{j=l_0}^{l_1}{a}_{i,j}=\sum _{j=l_0}^{l_1}\sum _{i=k_0}^{k_1}{a}_{i,j}$ (conmutatividade e asociatividade).

$\sum _{k\le j\le i\le n}{a}_{i,j}=\sum _{i=k}^n\sum _{j=k}^i{a}_{i,j}=\sum _{j=k}^n\sum _{i=j}^n{a}_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}{a}_{i+j,i}$ (outra aplicación de conmutatividade e asociatividade).

$\sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)$ (subdividir o sumatorio en índices pares e impares).

$\sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)$ (subdividir unha suma en partes pares e impares, para índices impares).

$\left(\sum _{i=0}^n{a}_i\right)\left(\sum _{j=0}^n{b}_j\right)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^n{a}_i{b}_j$ (distributiva).

$\sum _{i=s}^m\sum _{j=t}^n{a}_i{c}_j=\left(\sum _{i=s}^m{a}_i\right)\left(\sum _{j=t}^n{c}_j\right)$ (A distributividade permite a factorización).

$\sum _{n=s}^t{\log }_{b}f(n)={\log }_b\prod _{n=s}^{t}f(n)$.

$C^{\sum _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^t{C}^{f(n)}$.

$\sum _{m=0}^k\sum _{n=0}^{m}f(m,n)=\sum _{m=0}^k\sum _{n=m}^{k}f(n,m),$ para calquera función $f$ de $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$.

Potencias e logaritmo das progresións aritméticas

$\sum _{i=1}^{n}c=nc$ para todo Modelo:Mvar que non depende de Modelo:Mvar.

$\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$.Modelo:R

$\sum _{i=1}^n(2i-1)=n^2$ (Suma dos primeiros números naturais impares).

$\sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)$ (Suma dos primeiros números naturais pares).

$\sum _{i=1}^n\log i=\log n!$ (A suma dos logaritmos é o logaritmo do produto).

$\sum _{i=0}^n{i}^2=\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}$. Modelo:R

$\sum _{i=0}^n{i}^3=(\sum _{i=0}^{n}i{)}^2={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2=\frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4}$ (Teorema de Nicómaco) Modelo:R

Índice do sumatorio en expoñentes

Nos seguintes sumatorios, asúmese que Modelo:Mvar é diferente de 1.

$\sum _{i=0}^{n-1}{a}^i=\frac{1-a^n}{1-a}$ (suma dunha progresión xeométrica).

$\sum _{i=0}^{n-1}\frac{1}{2^i}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$ (caso especial para Modelo:Math).

$\sum _{i=0}^{n-1}i{a}^i=\frac{a-n{a}^n+(n-1)a^{n+1}}{(1-a{)}^2}$ (Modelo:Mvar veces a derivada en relación a Modelo:Mvar da progresión xeométrica).

$\begin{array}{cc}\sum _{i=0}^{n-1}(b+id)a^i& =b\sum _{i=0}^{n-1}{a}^i+d\sum _{i=0}^{n-1}i{a}^i\\ & =b\left(\frac{1-a^n}{1-a}\right)+d\left(\frac{a-n{a}^n+(n-1)a^{n+1}}{(1-a{)}^2}\right)\\ & =\frac{b(1-a^n)-(n-1)d{a}^n}{1-a}+\frac{da(1-a^{n-1})}{(1-a{)}^2}\end{array}$

(suma dunha secuencia aritmético-xeométrica)

Coeficientes binomiais e factoriais

Existen moitas identidades con sumatorios que implican coeficientes binomiais. Algunhas das máis básicas son as seguintes.

Implicando o teorema do binomio

$\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^{n-i}{b}^i=(a+b{)}^n,$ o teorema do binomio.

$\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=2^n,$ caso especial onde Modelo:Math.

$\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})p^i(1-p{)}^{n-i}=1$, o caso especial onde Modelo:Math, que, para $0\le p\le 1,$ expresa a suma da distribución binomial.

$\sum _{i=0}^{n}i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=n(2^{n-1}),$ o valor en Modelo:Math da derivada con respecto a Modelo:Mvar do teorema do binomio.

$\sum _{i=0}^n\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{i+1}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1},$ o valor en Modelo:Math da antiderivada con respecto a Modelo:Mvar do teorema do binomio.

Implicando números de permutación

Nos seguintes sumatorios, ${}_n{P}_k$ é o número de [[Permutación|Modelo:Math-permutacións de Modelo:Math]].

$\sum _{i=0}^n{}_i{P}_k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})={}_n{P}_k(2^{n-k})$

$\sum _{i=1}^n{}_{i+k}{P}_{k+1}=\sum _{i=1}^n\prod _{j=0}^k(i+j)=\frac{(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}$

$\sum _{i=0}^{n}i!\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=\sum _{i=0}^n{}_n{P}_i=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,n\in {\mathbb{Z}}^{+}$, onde e $\lfloor x\rfloor$ denota a función chan.

Outros

$\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{n})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m+1}{n+1})$

$\sum _{i=k}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})$

$\sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1$

$\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+i-1}{i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{n})$

$\sum _{i=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}^2=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$

$\sum _{i=0}^n\frac{1}{i!}=\frac{\lfloor n!e\rfloor }{n!}$

Números harmónicos

$\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}=H_n$ (o Modelo:Mvar-ésimo número harmónico )

$\sum _{i=1}^n\frac{1}{i^k}=H_n^k$ (o número harmónico xeneralizado)

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Notación pi maiúscula.
• Sumatorio por partes