Progresión xeométrica

Diagrama que representa tres sucesións de termo xeral 1(rⁿ⁻¹) ata 6 iteracións. O primeiro bloque é unha unidade e a liña é a suma infinita da sucesión: 2, 3/2 e 4/3

En matemáticas, unha progresión xeométrica é unha sucesión de números onde cada termo despois do primeiro atópase multiplicando o anterior por un número fixo diferente de cero denominado razón. Por exemplo, a sucesión 2, 6, 18, 54, ... é unha progresión xeométrica de razón 3. Analogamente 10, 5, 2.5, 1.25, ... é unha progresión xeométrica de razón 1/2.

Exemplos de sucesións xeométricas son as potencias r^k dun número determinado r, como 2^k e 3^k. A forma xeral dunha sucesión xeométrica é

$a,ar,a{r}^2,a{r}^3,a{r}^4,\dots$

onde r ≠ 0 é a razón e a é o factor de escala, igual ao primeiro valor da sucesión.

Propiedades elementais

O termo n-ésimo dunha progresión xeométrica con valor a e razón r vén dado por

$a_n=a{r}^{n-1}.$

Unha progresión xeométrica segue a relación recursiva

$a_n=r{a}_{n-1}$ for every integer $n\ge 1.$

En xeral, para comprobar se unha sucesión é xeométrica, abonda con comprobar se cada un dos termos consecutivos teñen a mesma razón.

A razón dunha progresión xeométrica pode ser negativa, dando lugar a unha sucesión alternada, con números positivos e negativos alternativamente. Por exemplo

1, −3, 9, −27, 81, −243, …

é unha progresión xeométrica de razón −3.

O comportamento dunha progresión xeométrica depende do valor da razón. Se esta é:

• Positiva, os termos terán o mesmo signo que o inicial.
• Negativa, os termos terán signos alternos.
• Maior que 1, terá crecemento exponencial cara a máis ou menos infinito, dependendo do signo do primeiro termo.
• 1, a progresión será unha sucesión constante.
• Entre -1 e 1, pero non cero, sufrirá decrecemento exponencial cara ao cero.
• −1, a progresión será unha sucesión alternada.
• Menor que -1, os valores absolutos dos termos crecerán exponencialmente cara ao infinito.

As progresión xeométricas (con razón diferente a −1, 1 ou 0) amosan crecemento o decrecemento exponencial, en oposición ao crecemento ou decrecemento linear dunha progresión aritmética como 4, 15, 26, 37, 48, … (con diferenza 11). Este resultado foi tomado por T.R. Malthus como fundamento matemático da súa obra Principle of Population.

Un resultado interesante das progresións xeométricas é que para cada valor da razón común, tres termos consecutivos a, b e c satisfarán a ecuación

$b^2=ac$

onde b se considera a media xeométrica entre a e c.

Series xeométricas

	2	+	10	+	50	+	250			=	312
− (			10	+	50	+	250	+	1250	=	5 × 312 )
	2							−	1250	=	(1 − 5) × 312

Cálculo da suma 2 + 10 + 50 + 250. A sucesión consiste en multiplicar termo a termo por 5, e logo subtraer da sucesión orixinal. Permanencen dous termos: o primeiro termo, a, e o termo seguinte ao último, ar^m. O resultado desexado, 312, atópase subtraendo estes dous termos e dividindo por 1 − 5.

Unha serie xeométrica é a suma dos termos dunha progresión xeométricaModelo:Efn. Por exemplo:

$2+10+50+250=2+2\times 5+2\times 5^2+2\times 5^3.$

Se a é o primeiro termo (neste caso 2), n o número de termos (aquí 4) e r a constante pola que se multiplica cada termo para atopar o seguinte (aquí 5), a suma vén dada por:

$\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

No exemplo anterior, resulta:

$2+10+50+250=\frac{2(1-5^4)}{1-5}=\frac{-1248}{-4}=312.$

A fórmula funciona para calquera números reais a e r (agás r = 1, que resulta nunha división entre cero). Por exemplo:

$-2\pi +4{\pi }^2-8{\pi }^3=-2\pi +(-2\pi {)}^2+(-2\pi {)}^3=\frac{-2\pi (1-(-2\pi {)}^3)}{1-(-2\pi )}=\frac{-2\pi (1+8{\pi }^3)}{1+2\pi }\approx -214.855.$

Obtención da fórmula

Para obter a fórmula escríbese primeiro unha serie xeométrica como:

$\sum _{k=1}^{n}a{r}^{k-1}=a{r}^0+a{r}^1+a{r}^2+a{r}^3+\cdots +a{r}^{n-1}.$

Pódese atopar unha fórmula máis simple para a suma multiplicando ambos os membros da ecuación superior por 1 − r, e verase que

$\begin{array}{cc}(1-r)\sum _{k=1}^{n}a{r}^{k-1}& =(1-r)(a{r}^0+a{r}^1+a{r}^2+a{r}^3+\cdots +a{r}^{n-1})\\ & =a{r}^0+a{r}^1+a{r}^2+a{r}^3+\cdots +a{r}^{n-1}-a{r}^1-a{r}^2-a{r}^3-\cdots -a{r}^{n-1}-a{r}^n\\ & =a-a{r}^n\end{array}$

posto que todos os outros termos se cancelan. Se r ≠ 1, pódese reordenar a expresión superior para conseguir a fórmula conveniente dunha serie xeométrica que calcule a suma de n termos:

$\sum _{k=1}^{n}a{r}^{k-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}.$

Fórmulas relacionadas

Se a suma non comezase en k=1, senón nun índice diferente m, entón

$\sum _{k=m}^{n}a{r}^k=\frac{a(r^m-r^{n+1})}{1-r}.$

Derivando esta fórmula respecto de r pódese chegar ás fórmulas das dumas da forma

$\sum _{k=0}^n{k}^s{r}^k.$

Por exemplo:

$\frac{d}{dr}\sum _{k=0}^n{r}^k=\sum _{k=1}^{n}k{r}^{k-1}=\frac{1-r^{n+1}}{(1-r{)}^2}-\frac{(n+1)r^n}{1-r}.$

Para series xeométricas que conteñen só potencias de r multiplicadas por 1 − r²  :

$(1-r^2)\sum _{k=0}^{n}a{r}^{2k}=a-a{r}^{2n+2}.$

Entón

$\sum _{k=0}^{n}a{r}^{2k}=\frac{a(1-r^{2n+2})}{1-r^2}.$

Equivalentemente, tomando r²  como a razón e empregando a formulación estándar.

Para unha serie que só ten potencias impares de r

$(1-r^2)\sum _{k=0}^{n}a{r}^{2k+1}=ar-a{r}^{2n+3}$

e

$\sum _{k=0}^{n}a{r}^{2k+1}=\frac{ar(1-r^{2n+2})}{1-r^2}.$

Series xeométricas infinitas

Unha serie xeométrica infinita é unha serie infinita con termos consecutivos que teñen unha razón común. Estas series converxen se e só se o valor absoluto da razón é menor que 1 (Modelo:Abs < 1). O valor pode ser calculado coas fórmulas

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}=\frac{a}{1-r}-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a{r}^{n+1}}{1-r}$

Diagrama que amosa a serie xeométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converxe a 2.

Dado que:

$r^{n+1}\to 0\text{ as }n\to \mathrm{\infty }\text{ when }|r|<1.$

Entón:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^k=\frac{a}{1-r}-0=\frac{a}{1-r}$

Para unha serie que contén só potencias pares de $r$,

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^{2k}=\frac{a}{1-r^2}$

e se só contén potencias impares,

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^{2k+1}=\frac{ar}{1-r^2}$

Nos casos nos que a suma non comeza en k = 0,

$\sum _{k=m}^{\mathrm{\infty }}a{r}^k=\frac{a{r}^m}{1-r}$

As fórmulas dadas arriba só son válidas para Modelo:Abs < 1. A última fórmula é válida en toda álxebra de Banach, cando a norma de r sexa menor ca 1, e tamén no corpo dos números p-ádicos Modelo:Abs_p < 1. No caso dunha suma finita pódese diferenciar para calcular as fórmulas das sumas relativas. Por exemplo,

$\frac{d}{dr}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{r}^k=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{r}^{k-1}=\frac{1}{(1-r{)}^2}$

Esta fórmula só funciona para Modelo:Abs < 1. De aquí séguese que, para Modelo:Abs < 1,

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}k{r}^k=\frac{r}{{(1-r)}^2};\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{k}^2{r}^k=\frac{r(1+r)}{{(1-r)}^3};\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{k}^3{r}^k=\frac{r(1+4r+r^2)}{{(1-r)}^4}$

Tamén a serie infinita 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ é un exemplo elemental dunha serie que converxe absolutamente.

É unha serie xeométrica con primeiro termo igual a 1/2 e razón 1/2, logo a súa suma é

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\frac{1/2}{1-(+1/2)}=1.$

A serie 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ é un exemplo sinxelo dunha serie alternada que converxe absolutamente.

É unha serie xeométrica con primeiro termo e razón −1/2, polo que a súa suma é

$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\cdots =\frac{1/2}{1-(-1/2)}=\frac{1}{3}.$

Número complexos

A fórmula da suma de series xeométricas é válida mesmo cando a razón é un número complexo. Neste caso a condición de que o valor absoluto de r sexa menor que 1 convértese en que o módulo de r sexa menor que 1. É posible calcular as sumas dalgunhas series xeométricas non obvias. Por exemplo, considérese a proposición

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (kx)}{r^k}=\frac{r\sin (x)}{1+r^2-2r\cos (x)}$

A demostración procede do feito de que

$\sin (kx)=\frac{e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i},$

que é consecuencia da fórmula de Euler. Substituíndo na serie orixinal

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (kx)}{r^k}=\frac{1}{2i}[\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{e^{ix}}{r}\right)}^k-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{e^{-ix}}{r}\right)}^k]$.

Esta é a diferenza entre dúas series xeométricas, e é unha aplicación directa da fórmula das series infinitas xeométricas que completa a demostración.

Produto

O produto dunha progresión xeométrica é o produto dos seus termos. Se todos os termos son positivos entón pode calcularse rapidamente tomando a media xeométrica do primeiro e do último termo da progresión e elevando o valor á potencia dada polo número de termos:

$\prod _{i=0}^{n}a{r}^i={\left(\sqrt{a_0\cdot a_n}\right)}^{n+1}$ (if $a,r>0$).

Demostración:

Sexa P o produto:

$P=a\cdot ar\cdot a{r}^2\cdots a{r}^{n-1}\cdot a{r}^n$.

Realizando as multiplicacións, conclúese que

$P=a^{n+1}{r}^{1+2+3+\cdots +(n-1)+(n)}$.

Aplicando a suma dunha serie aritmética, a expresión resultará

$P=a^{n+1}{r}^{\frac{n(n+1)}{2}}$.

$P=(a{r}^{\frac{n}{2}}{)}^{n+1}$.

Elevando ao cadrado ambos os membros:

$P^2=(a^2{r}^n{)}^{n+1}=(a\cdot a{r}^n{)}^{n+1}$.

Consecuentemente,

$P^2=(a_0\cdot a_n{)}^{n+1}$, e por tanto,

$P=(a_0\cdot a_n{)}^{\frac{n+1}{2}}$,

que conclúe a demostración.

Relación entre as progresións xeométricas e a obra de Euclides

Os libros VIII e IX dos Elementos de Euclides analizan as progresións xeométricas e dan varios exemplos das súas propiedades.

Véxase tamén

Bibliografía

• Hall & Knight, Higher Algebra, p. 39, ISBN 81-8116-000-2

Outros artigos

• Progresión aritmética

Ligazóns externas

• Derivation of formulas for sum of finite and infinite geometric progression at Mathalino.com
• Geometric Progression Calculator
• Nice Proof of a Geometric Progression Sum at sputsoft.com