Sigma-álxebra

En análise matemática e teoría da probabilidade, unha σ-álxebra sobre un conxunto X é unha colección non baleira Σ de subconxuntos de X pechados baixo a complementación, a unión numerable e a intersección numerable. O par ordenado $(X,\mathrm{\Sigma })$ chámase espazo medible.

Definición

Dado un conxunto non baleiro $X$, e $P(X)$ o seu conxunto de partes, dicimos que $\mathrm{\Sigma }\subseteq 𝒫(X)$ é unha $\sigma$-álxebra en $X$ se se satisfán as seguintes condicións:

• O conxunto baleiro $\mathrm{\varnothing }$ e o conxunto total $X$ son elementos de $\mathrm{\Sigma }$.
• Dado un elemento $E\in \mathrm{\Sigma }$, o seu conxunto complementario $E^c=X\setminus E$ tamén pertence a $\mathrm{\Sigma }$.
• ($\sigma$-aditividade) Dado un conxunto numerable $\{E_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathrm{\Sigma }$, o conxunto unión $E=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{E}_n$ tamén pertence a $\mathrm{\Sigma }$.

Dado $X$ un conxunto e $\mathrm{\Sigma }$ unha $\sigma$-álxebra en $X$, chamamos espazo medible ao par formado por $(X,\mathrm{\Sigma })$.

Propiedades das $\sigma$-álxebras

Sexa $(X,\mathrm{\Sigma })$ un espazo medible. Pódese demostrar que

• (Aditividade finita) Dado un conxunto finito $\{E_k{\}}_{k=1}^n$ de elementos de $\mathrm{\Sigma }$, o conxunto unión (finita) $E=\bigcup _{k=1}^n{E}_k$ tamén é un elemento de $\mathrm{\Sigma }$.
• Dado un conxunto numerable $\{E_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ de elementos de $\mathrm{\Sigma }$, o conxunto intersección (numerable) $E=\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{E}_n$ tamén pertence a $\mathrm{\Sigma }$. Desta propiedade dedúcese que tamén ocorre o mesmo para a intersección finita de elementos de $\mathrm{\Sigma }$.
• Dados dous elementos $E,F$ de $\mathrm{\Sigma }$, o conxunto $E\setminus F$ tamén pertence a $\mathrm{\Sigma }$.

Exemplos de $\sigma$-álxebras

• Chamamos $\sigma$-álxebra trivial á $\sigma$-álxebra formada polo conxunto baleiro e o total: $\mathrm{\Sigma }=\{\mathrm{\varnothing },X\}$. Trátase da $\sigma$-álxebra máis pequena sobre $X$.

• A maior $\sigma$-álxebra posible sobre $X$ é o conxunto $𝒫(X)$. Calquera $\sigma$-álxebra $\mathrm{\Sigma }$ sobre $X$ satisfai que $\{\mathrm{\varnothing },X\}\subset \mathrm{\Sigma }\subset 𝒫(X)$.

• Dadas dúas $\sigma$-álxebras ${\mathrm{\Sigma }}_1$ e ${\mathrm{\Sigma }}_2$, a súa intersección ${\mathrm{\Sigma }}_1\cup {\mathrm{\Sigma }}_2$ é tamén unha $\sigma$-álxebra en $X$.

• Dado un subconxunto $A\subset X$, a menor $\sigma$-álxebra sobre $X$ que contén a $A$ é $\mathrm{\Sigma }=\{\mathrm{\varnothing },A,A^c,X\}$.

• Dado $𝒮\subset 𝒫(X)$, a menor $\sigma$-álxebra sobre $X$ que contén a $𝒮$ é a intersección de todas as $\sigma$-álxebras que conteñen a $𝒮$. Denominámola $\sigma$-álxebra xerada por $𝒮$.

• Dado un conxunto $A\subset X$, denominamos $\sigma$-álxebra inducida a ${\mathrm{\Sigma }}_A=\{A\cap E:E\in \mathrm{\Sigma }\}$. Esta é unha $\sigma$-álxebra sobre o conxunto $A$.

Funcións medibles e $\sigma$-álxebras

Dicimos que unha función $f:(X_1,{\mathrm{\Sigma }}_1)\to (X_2,{\mathrm{\Sigma }}_2)$ é medible se a preimaxe dun conxunto medible en $(X_2,{\mathrm{\Sigma }}_2)$ é medible en $(X_1,{\mathrm{\Sigma }}_1)$, isto é, se para cada $X\in {\mathrm{\Sigma }}_2$ tense que $f^{-1}(X)\in {\mathrm{\Sigma }}_1$.

A noción de función medible motiva a definición das seguintes $\sigma$-álxebras:

σ-álxebra mínima

Modelo:Teorema Por construción, esta é a mínima $\sigma$-álxebra (no sentido da inclusión) sobre ${\mathrm{\Sigma }}_1$ tal que a función $f:(X_1,{\mathrm{\Sigma }}_1)\to (X_2,{\mathrm{\Sigma }}_2)$ é medíbel.

σ-álxebra máxima

Trátase da máxima $\sigma$-álxebra (no sentido da inclusión) sobre ${\mathrm{\Sigma }}_2$ tal que a función $f:(X_1,{\mathrm{\Sigma }}_1)\to (X_2,{\mathrm{\Sigma }}_2)$ é medíbel.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Función medible
• Medida (matemáticas)

Ligazóns externas

• Modelo:Springer
• Sigma Algebra from PlanetMath.

Modelo:Control de autoridades