Espazo medíbel

En matemáticas, un espazo medíbel ou espazo de Borel é un obxecto básico na teoría da medida. Consta dun conxunto e unha σ-álxebra, que definen os subconxuntos que se medirán.

Capta e xeneraliza nocións intuitivas como lonxitude, área e volume cun conxunto $X$ de 'puntos' no espazo, mais as rexións do espazo son os elementos da σ-álxebra, xa que as medidas intuitivas non adoitan definirse para os puntos. A álxebra tamén recolle as relacións que se poden esperar das rexións: que unha rexión pode definirse como unha intersección doutras rexións, unha unión doutras rexións ou o espazo completo con excepción doutra rexión.

Definición

Considere un conxunto $X$ e unha σ-álxebra $ℱ$ on $X.$ Daquela a tupla $(X,ℱ)$ chámase espazo medíbel

Teña en conta que, a diferenza dun espazo de medida, non se precisa ningunha medida para un espazo medíbel.

Exemplo

Olle para o conxunto: $$X=\{1,2,3\}.$$ Unha posíbel $\sigma$-álxebra sería: $${ℱ}_1=\{X,\varnothing \}.$$ Entón $(X,{ℱ}_1)$ é un espazo medíbel. Outra posíbel $\sigma$-álxebra sería o conxunto de partes de $X$ : $${ℱ}_2=𝒫(X).$$ Con isto, un segundo espazo medíbel no conxunto $X$ está dado por $(X,{ℱ}_2).$

Espazos medíbeis típicos

Se $X$ é finito ou numerablemente infinito, a $\sigma$-álxebra é a maioría das veces o conxunto de partes de $X,$ así $ℱ=𝒫(X).$ Isto leva ao espazo medíbel $(X,𝒫(X)).$

Se $X$ é un espazo topolóxico, a $\sigma$-álxebra é frecuentemente a $\sigma$-algebra de Borel $ℬ,$ así $ℱ=ℬ(X).$ Isto conduce ao espazo medíbel $(X,ℬ(X))$ que é típico para todos os espazos topolóxicos como por exemplo os números reais $ℝ.$

Ambigüidade cos espazos de Borel

O termo espazo Borel úsase para diferentes tipos de espazos medíbeis. Pode referirse a

• calquera espazo medíbel, polo que é un sinónimo de espazo medíbel como se definiu anteriormente
• un espazo medíbel que é isomorfo de Borel a un subconxunto medíbel dos números reais (de novo coa $\sigma$-álxebra de Borel)

Véxase tamén

Outros artigos

• Conxunto de Borel.
• Función medible.
• Medida (matemáticas).