Serie Flint Hills

A serie Flint Hills é unha serie numérica que é significativa debido a que se descoñece a súa natureza converxente ou diverxente. Outro trazo característico é que a súa diverxencia está relacionado coa medida da irracionalidade do número pi.

Definición

A serie Flint Hills está definida polo sumatorio:

$S_1=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\csc }^{2}n}{n^3}$

que ven sendo o mesmo que:

$S_1=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3{\sin }^{2}n}$.

Non se sabe se esta serie converxe, xa que $cs{c}^{2}n$ pode ter esporadicamente valores grandes. Os valores de Modelo:Var que fan grande esa función son precisamente os numeradores dos converxentes da fracción continua de $\pi$ Modelo:OEIS.

Alekseyev (2011) demostrou que a cuestión da converxencia da serie Flint Hill está relacionada coa medida da irracionalidade de $\pi$, e en particular, a converxencia implicaría $\mu (\pi )<=2.5$, que é moito máis forte que o mellor límite superior coñecido actualmente.

Proba da converxencia en función da medida de irracionalidade

Imos mostrar a proba de Alekseyev (2011):

Sexa $ϵ>0$ e $k=\mu (\pi )+\frac{ϵ}{v}$. Entón, a desigualdade $|\pi -\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^k}$ só se cumpre para un número finito de pares de enteiros positivos coprimos $p$ e $q$ (ver medida da irracionalidade).

Para un enteiro positivo $n$, sexa $m=\lfloor n/\pi \rfloor$, de modo que $|n/\pi -m|\le 1/2$ e, polo tanto, $|n-m\pi |\le \pi /2$. Entón,

$|\sin (n)|=|\sin (n-m\pi )|\ge \frac{2}{\pi }\cdot |n-m\pi |=\frac{2}{\pi }\cdot m\cdot |\frac{n}{m}-\pi |.$

Por outra parte, para $n$ e $m$ suficientemente grandes, temos $|\frac{n}{m}-\pi |\ge \frac{1}{m^k}$, o que implica que

$|\sin (n)|\ge \frac{2}{\pi }\cdot m\cdot |\frac{n}{m}-\pi |\ge \frac{2}{\pi }\cdot \frac{1}{m^{k-1}}\ge c\cdot \frac{1}{n^{k-1}},$

onde $c>0$ é unha constante que depende só de $k$ mais non de $n$ (xa que $n/m$ tende a $\pi$ cando $n$ medra).

Polo tanto, para todo $n$ suficientemente grande, temos

$\frac{1}{n^u\cdot |\sin (n){|}^v}\le \frac{1}{c^v\cdot n^{u-(k-1)v}}=O\left(\frac{1}{n^{u-(\mu (\pi )-1)v-ϵ}}\right).$

Daquela dedúcese que se $\mu (\pi )<1+\frac{u}{v}$, tomamos $ϵ=\frac{v}{2}\cdot (1+\frac{u}{v}-\mu (\pi ))$ para obter

$\frac{1}{n^u\cdot |\sin (n){|}^v}=O\left(\frac{1}{n^{u-v(\mu (\pi )-1)-ϵ}}\right)=O\left(\frac{1}{n^{ϵ}}\right).$

E por tanto converxe a cero.

Por outra parte se $\mu (\pi )>1+\frac{u}{v}$, entón para $k=1+\frac{u}{v}$, a desigualdade inicial de irracionalidade cúmprese para infinitos pares de enteiros positivos coprimos $p$ e $q$. É dicir, existe unha sucesión de racionais $\frac{p_i}{q_i}$ tal que $|p_i-\pi q_i|<\frac{1}{q_i^{k-1}}.$

Entón,

$|\sin (p_i)|=|\sin (p_i-q_i\pi )|\le |p_i-q_i\pi |<\frac{1}{q_i^{k-1}}<C\cdot \frac{1}{p_i^{k-1}},$

onde $C>0$ é unha constante que depende só de $k$. Polo tanto, para $n=p_i$, temos

$\frac{1}{n^u\cdot |\sin (n){|}^v}>C^v\cdot n^{v(k-1)-u}=C^v.$

Por outra parte, temos

$|\sin (1+p_i)|=|\sin (1+p_i-q_i\pi )|\stackrel{i\to \mathrm{\infty }}{\to }\sin (1),$ e polo tanto,

$\frac{1}{(1+p_i{)}^u\cdot |\sin (1+p_i){|}^v}\stackrel{i\to \mathrm{\infty }}{\to }0.$

Concluímos que a sucesión $\frac{1}{n^u\cdot |\sin (n){|}^v}$ diverxe, xa que contén dúas subsucesións: unha limitada inferiormente por unha constante positiva e outra que tende a cero.

Aplicando este resultado aos valores da serie Flint Hills, $u=3;v=2$, temos que $\mu (\pi )=1+\frac{u}{v}=2.5$ é o valor que determina a converxencia ou diverxencia da serie.

Véxase tamén

Bibliografía

• Pickover, C. A. "Flint Hills Series." Ch. 25 in The Mathematics of Oz: Mental Gymnastics from Beyond the Edge. New York: Cambridge University Press, pp. 57-59 and 265-268, 2002.
• Sloane, N. J. A. Sequence A046947 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Outros artigos

• Lista de sumas de recíprocos.

Ligazóns externas

• Flint Hills Series (MathWorld).