Media (estatística)

Construción xeométrica para achar as medias aritmética, xeométrica, harmónica e cuadrática de dous números a e b.

Comparación da media aritmética, a mediana e a moda de dúas distribucións log-normal con diferente asimetría.

En matemáticas e estatística unha media é unha medida de tendencia central. Existen distintos tipos de medias, tales como a media xeométrica, a media ponderada e a media harmónica aínda que na linguaxe común, o termo refírese xeralmente á media aritmética.

Exemplos de medias

Existen numerosos exemplos de medias $\overline{x}=m_i(x_1,\dots ,x_n)$. Unha das poucas propiedades compartidas por todas as medias é que calquera media está comprendida entre o valor máximo e o valor mínimo do conxunto de variables: Modelo:Ecuación

Ademais debe cumprirse que: Modelo:Ecuación

Media aritmética

A media aritmética é unha media estándar que a miúdo se denomina simplemente "media". Modelo:Ecuación

A media confúndese ás veces coa mediana ou a moda. A media aritmética é a media dun conxunto de valores, ou a súa distribución; con todo, para as distribucións con nesgo, a media non é necesariamente o mesmo valor que a mediana ou que a moda. A media, moda e mediana son parámetros característicos dunha distribución de probabilidade. É ás veces unha forma de medir o nesgo dunha distribución tal e como se pode facer nas distribucións exponencial e de Poisson.

Por exemplo, a media aritmética de 34, 27, 45, 55, 22 e 34 (seis valores) é $\frac{34+27+45+55+22+34}{6}=\frac{217}{6}\approx 36,167$

Media aritmética ponderada

Ás veces pode ser útil outorgar pesos ou valores aos datos dependendo da súa relevancia para determinado estudo. Neses casos pódese utilizar unha media ponderada. Se $X_1,X_2,...,X_n$ é un conxunto de datos ou media muestral e $w_1,w_2,...,w_n$ son números reais positivos, chamados "pesos" ou factores de ponderación, defínese a media ponderada relativa a eses pesos como: Modelo:Ecuación

A media é invariante fronte a transformacións lineares, cambio de orixe e escala, das variables, é dicir se X é unha variable aleatoria e Y é outra variable aleatoria que depende linearmente de X, é dicir, Y = a·X + b (onde a representa a magnitude do cambio de escala e b a do cambio de orixe) tense que: Modelo:Ecuación

Media xeométrica

A media xeométrica é unha media moi útil en conxuntos de números que son interpretados en orde do seu produto, non da súa suma (tal e como ocorre coa media aritmética). Por exemplo, as velocidades de crecemento.

$\overline{x}={\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{1/n}$

Por exemplo, a media xeométrica da serie de números 34, 27, 45, 55, 22 e 34 (seis valores) é $(34\cdot 27\cdot 45\cdot 55\cdot 22\cdot 34{)}^{1/6}=1699493400^{1/6}\approx 34,545$

Media harmónica

A media harmónica é unha media moi útil en conxuntos de números que se definen en relación con algunha unidade, por exemplo a velocidade (distancia por unidade de tempo).

$\overline{x}=n\cdot {\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}\right)}^{-1}$

Por exemplo, a media harmónica dos números: 34, 27, 45, 55, 22, e 34 é $\frac{6}{\frac{1}{34}+\frac{1}{27}+\frac{1}{45}+\frac{1}{55}+\frac{1}{22}+\frac{1}{34}}\approx 33,018$

Xeneralizacións da media

Existen diversas xeneralizacións das medias anteriores.

Media xeneralizada

As medias xeneralizadas, tamén coñecidas como medias de Hölder, son unha abstracción das medias cuadráticas, aritméticas, xeométricas e harmónicas. Defínense e agrúpanse a través da seguinte expresión: Modelo:Ecuación

Escollendo un valor apropiado do parámetro m, tense:

• $m\to \mathrm{\infty }$ - máximo,
• $m=2$ - media cuadrática,
• $m=1$ - media aritmética,
• $m\to 0$ - media xeométrica,
• $m=-1$ - media harmónica,
• $m\to -\mathrm{\infty }$ - mínimo.

Media-f xeneralizada

Esta media pode xeneralizarse para unha función monótona como a media-f xeneralizada: Modelo:Ecuación

onde $f:I\to I$ é unha función inxectiva e $I\subset ℝ$ un intervalo. Escollendo formas particulares para $f$ obtéñense algunhas das medias máis coñecidas:

• $f(x)=x$ - media aritmética, $I=ℝ$
• $f(x)=\frac{1}{x}$ - media harmónica, $I=(0,\mathrm{\infty })$
• $f(x)=x^m$ - media xeneralizada, $I=(0,\mathrm{\infty })$
• $f(x)=\ln x$ - media xeométrica, $I=(0,\mathrm{\infty })$.

Media dunha función

Para unha función continua $f$ sobre un intervalo [a,b], pódese calcular o valor medio da función $f$ sobre [a,b] como: Modelo:Ecuación

De feito a definición anterior cúmprese tamén para unha función limitada aínda que non sexa continua, coa condición de que sexa medible.

Media estatística

A media estatística emprégase en estatística para dous conceptos diferentes aínda que numericamente similares:

• A media da mostra, que é un estatístico que se calcula a partir da media aritmética dun conxunto de valores dunha variable aleatoria.
• A media da poboación, valor esperado ou esperanza matemática dunha variable aleatoria.

Na práctica dada unha mostra estatística suficientemente grande o valor da media muestral da mesma é numericamente moi próximo á esperanza matemática da variable aleatoria medida nesa mostra. O devandito valor esperado, só é calculable se se coñece con toda exactitude a distribución de probabilidade, cousa que raramente sucede na realidade, e por esa razón, a efectos prácticos a chamada media refírese normalmente á media da mostra.

Media da mostra

A media da mostra é unha variable aleatoria, xa que depende da mostra, aínda que é unha variable aleatoria en xeral cunha varianza menor que as variables orixinarias empregadas no seu cálculo. Se a mostra é grande e está ben escollida, pode tratarse a media da mostra como un valor numérico que aproxima con precisión a media de poboación, que caracteriza unha propiedade obxectiva da poboación. Defínese como segue: se se ten unha mostra estatística de valores $(X_1,X_2,...,X_n)$ de valores para unha variable aleatoria X con distribución de probabilidade F(x, θ) [onde θ é un conxunto de parámetros da distribución] defínese a media da mostra n-ésima como: Modelo:Ecuación

Media da poboación

A media da poboación tecnicamente non é unha media senón un parámetro fixo que coincide coa esperanza matemática dunha variable aleatoria. O nome "media da poboación" emprégase para indicar que valor numérico dunha media muestral é numericamente próximo ao parámetro media da poboación, para unha mostra adecuada e suficientemente grande.

Véxase tamén

Outros artigos

• Media cuadrática
• Media aritmética xeométrica
• Media heroniana
• Media (matemáticas)