Mediana (cálculo)

Modelo:Outros homónimos Modelo:1000 artigos icona título Na estatística, a mediana é unha medida de posición que representa o valor central da variable nun conxunto de datos ordenados.

Cálculo

Existen dous métodos para o cálculo da mediana, considerando os datos en forma individual, sen agrupalos ou empregando o datos agrupados en intervalos de clase.

Datos sen agrupar

Sexan $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n$ os datos dunha mostra ordenada en orde creciente e designando a mediana como $M_e$, distínguense dous casos:

• Se n é impar, a mediana é o valor que ocupa a posición $(n+1)/2$ porque este é o valor central. É dicir: $M_e=x_{(n+1)/2}$.

Por exemplo, se temos cinco datos que ordenados son $x_1=3$, $x_2=6$, $x_3=7$, $x_4=8$, $x_5=9$, o valor central é o terceiro, $x_{(5+1)/2}=x_3=7$. Este valor deixa dous datos por baixo del ($x_1$, $x_2$) e outros dous por riba ($x_4$, $x_5$).

• Se n é par, a mediana é a media aritmética dos dous valores centrais. Cando $n$ é par, os dous datos que están no centro da mostral ocupan as posicións $n/2$ e $n/2+1$. É dicir: $M_e=(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1})/2$.

Por exemplo, se temos seis datos que ordenados son $x_1=3$, $x_2=6$, $x_3=7$, $x_4=8$, $x_5=9$, $x_6=10$ => Hai dous valores que están por baixo do $x_{\frac{6}{2}}=x_3=7$ e outros dous que quedan por riba do seguinte dato $x_{\frac{6}{2}+1}=x_4=8$. Polo tanto, a mediana deste grupo de datos é a media aritmética destes dous datos: $M_e=\frac{x_3+x_4}{2}=\frac{7+8}{2}=7,5$.

Datos agrupados

Ao tratar con datos agrupados, se $\frac{n}{2}$ coincide co valor dunha frecuencia acumulada o valor da mediana coincidirá coa abscisa correspondente. Se non coincide co valor de ningunha abscisa calcúlase a través da semellanza de triángulos no histograma ou no polígono de frecuencias acumuladas, utilizando a seguinte equivalencia:

$\frac{N_i-N_{i-1}}{a_i-a_{i-1}}=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1}}{p}\Rightarrow p=\frac{\frac{n}{2}-N_{i-1}}{N_i-N_{i-1}}(a_i-a_{i-1})$

onde $N_i$ y $N_{i-1}$ son as frecuencias absolutas acumuladas tales que $N_{i-1}<\frac{n}{2}<N_i$, $a_{i-1}$ y $a_i$ son os extremos, interior e exterior, do intervalo onde se alcanza a mediana e $M_e=a_{i-1}+p$ é a abscisa que hai que calcular, a mediana. Obsérvase que $a_i-a_{i-1}$ é a lonxitude dos intervalos seleccionados para o diagrama.

Exemplo para datos agrupados

Entre 1.50 e 1.60 hai 2 estudantes.
Entre 1.60 e 1.70 hai 5 estudantes.
Entre 1.70 e 1.80 hai 3 estudantes.

$Mediana=1.60+\left(\frac{(10/2)-2}{5}\right)0.1=1.66$

Método de cálculo xeral

xi	fi	Ni
[x11-x12]	f1	N1
.	.	.
.	.	.
.	.	N(i-2)
[x(i-1)1-x(i-1)2]	f(i-1)	f(i-1)-N(i-2)=N(i-1)
[xi1-xi2]	fi	fi-Ni-1=Ni
[x(i+1)1-x(i+2)2]	f(i+1)	f(i+1)-Ni=N(i+1)
.	.	.
.	.	.
.	.	.
[xM1-xM2]	fM	fM-N(M-1)=NM

Entón:

$Mediana=x_{i1}+\left(\frac{(N_M/2)-N_{i-1}}{f_i}\right).(x_{i2}-x_{i1})$

Véxase tamén

Outros artigos

• Cuartil
• Desvío estándar
• Moda (estatística)
• Media (matemáticas)
• Parámetro estatístico
• Valor esperado

Ligazóns externas

• Simulación da mediana dunha variable discreta