Distribución lognormal

En probabilidade e estatística, a distribución log-normal é a distribución de probabilidade de calquera variable aleatoria con seu logaritmo normalmente distribuído (a base da función logarítmica non é importante xa que se log_a X está distribuída normalmente se e só se log_b X está distribuída normalmente). Se X é unha variable aleatoria cunha distribución normal, entón exp(X) ten unha distribución log-normal.

"Log-normal" tamén se escribe "log normal" ou "lognormal".

Unha variable pode ser modelada como log-normal se pode ser considerada como o produto multiplicativo de moitos pequenos factores independentes. Un exemplo típico é o retorno a longo prazo dunha inversión nunha acción: pódese considerar como o produto dos retornos diarios.

A distribución log-normal ten a función densidade de probabilidade

$f(x;\mu ,\sigma )=\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-(\ln x-\mu {)}^2/2{\sigma }^2}$

para $x>0$, onde $\mu$ e $\sigma$ son a media e o desvío estándar do logaritmo da variable. O valor esperado é

$\mathrm{E}(X)=e^{\mu +{\sigma }^2/2}$

e a varianza é

$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=(e^{{\sigma }^2}-1)e^{2\mu +{\sigma }^2}$.

Relación coa media e o desvío estándar xeométrico

A distribución log-normal, a media xeométrica, e o desvío estándar xeométrico están relacionadas. Neste caso, a media xeométrica é igual a $\exp (\mu )$ e o desvío estándar xeométrico é igual a$\exp (\sigma )$.

Se unha mostra de datos determinase que provén dunha poboación distribuída seguindo unha log-normal, a media xeométrica e o desvío estándar xeométrico pódense utilizar para estimar os intervalos de confianza tal como a media aritmética e o desvío estándar se usan para estimar os intervalos de confianza para un dato distribuído normalmente.

Límite do intervalo de confianza	espazo log	xeométrica
3σ límite inferior	$\mu -3\sigma$	${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}/{\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}^3$
2σ límite inferior	$\mu -2\sigma$	${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}/{\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}^2$
1σ límite inferior	$\mu -\sigma$	${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}/{\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}$
1σ límite superior	$\mu +\sigma$	${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}{\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}$
2σ límite superior	$\mu +2\sigma$	${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}{\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}^2$
3σ límite superior	$\mu +3\sigma$	${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}{\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}^3$

Onde a media xeométrica ${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}=\exp (\mu )$ e o desvío estándar xeométrico ${\sigma }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}=\exp (\sigma )$

Momentos

Os primeiros momentos son:

${\mu }_1=e^{\mu +{\sigma }^2/2}$

${\mu }_2=e^{2\mu +4{\sigma }^2/2}$

${\mu }_3=e^{3\mu +9{\sigma }^2/2}$

${\mu }_4=e^{4\mu +16{\sigma }^2/2}$

ou de forma xeral:

${\mu }_k=e^{k\mu +k^2{\sigma }^2/2}.$

Estimación de parámetros Maximum likelihood

Para determina-los estimadores que máis aproximan os parámetros μ e σ da distribución log-normal, podemos utilizar o mesmo procedemento que para a distribución normal. Para non repetilo, obsérvese que

$f_L(x;\mu ,\sigma )=\frac{1}{x}{f}_N(\ln x;\mu ,\sigma )$

onde por $f_L(\cdot )$ denotamos a función de densidade de probabilidade da distribución log-normal, e por $f_N(\cdot )$— a da distribución normal. Polo tanto, utilizando os memos índices para denotar as distribucións, podemos escribir que

$\begin{array}{ccc}{\ell }_L(x_1,x_2,...,x_n;\mu ,\sigma )& =& -\sum _k\ln x_k+{\ell }_N(\ln x_1,\ln x_2,...,\ln x_n;\mu ,\sigma )=\\ & =& \mathrm{const}(\mu ,\sigma )+{\ell }_N(\ln x_1,\ln x_2,...,\ln x_n;\mu ,\sigma ).\end{array}$

Xa que o primeiro termo é constante respecto a μ e σ, ambas funcións logarítmicas, ${\ell }_L$ e ${\ell }_N$, obteñen o seu máximo co mesmo μ e σ. Polo tanto, utilizando as fórmulas para os estimadores dos parámetros da distribución normal, e a inigualdade de arriba, deducimos que para a distribución log-normal cúmprese

$\hat{\mu }=\frac{\sum _k\ln x_k}{n},{\hat{\sigma }}^2=\frac{\sum _k{(\ln x_k-\hat{\mu })}^2}{n}.$

Distribución relacionadas

• $Y\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ é unha distribución normal se $Y=\ln (X)$ e $X\sim \mathrm{Log-N}(\mu ,{\sigma }^2)$.
• Se $X_m\sim \mathrm{Log-N}(\mu ,{\sigma }_m^2),m=\overline{1...N}$ son variables independentes log-normalmente distribuídas co mesmo parámetro μ e permitindo que varie σ, e $Y=\prod _{m=1}^N{X}_m$, entón Y é unha variable distribuída log-normalmente como: $Y\sim \mathrm{Log-N}(\mu ,\sum _m{\sigma }_m^2)$.

Véxase tamén

Outros artigos

• Media xeométrica
• Desvío estándar xeométrico
• Función error